Опыт Кавендиша на современном оборудовании

Гравитационный момент от больших шаров уравновешивается упругим моментом нити; положение равновесия сдвигается при перестановке шаров. Период крутильных колебаний связывает модуль кручения с массой и геометрией коромысла, поэтому \(G\) выражается через измеряемые величины: смещение равновесия и период.

1. Геометрия. Расстояние от оси подвеса до центра малого шара и расстояние между центрами больших и малых шаров при касании: \[h = \frac{a + D}{2} = 4{,}565\cdot 10^{-2}\ \text{м}, \qquad (1)\] \[R = \frac{l - d}{2} = 6{,}67\cdot 10^{-2}\ \text{м}. \qquad (2)\]

При подведении тяжелых шаров к коромыслу весов на малые шарики начинает действовать сила гравитационного притяжения, равная \[F = G\frac{mM}{h^2}. \qquad (3)\] Так как смещение шариков коромысла крайне мало, то можно пренебречь изменением расстояния между взаимодействующими шарами, т.е. в формуле (3) можно считать величину \(h\) постоянной. Эти силы создают дополнительный момент гравитационных сил, действующих на коромысло \[M_g = 2F_g R = 2G\frac{mM}{h^2}R. \qquad (4)\] который уравновешивается возникающим моментом сил упругости нити подвеса \[M_e = K\left(\Delta\varphi\right)_{A,B}. \qquad (5)\] здесь \(\left(\Delta\varphi\right)_{A,B} = \left|\bar\varphi_{A,B} - \varphi_0\right|\) — отклонение равновесного положения коромысла \(\bar\varphi_{A,B}\) от положения, соответствующего недеформированной нити \(\varphi_0\).

В положении равновесия эти моменты равны, следовательно \[M_g = 2F_gR = 2G\frac{mM}{h^2}R = K\left(\Delta\varphi\right)_{A,B}. \qquad (6)\] где \(K\) — модуль кручения нити. Однако положение равновесия при недеформированной нити неизвестно. Может быть измерена величина суммарного смещения положения равновесия при изменении положения больших шаров \(\Delta\varphi = \left|\bar\varphi_A - \bar\varphi_B\right|\), которая в два раза больше, чем \(\left(\Delta\varphi\right)_{A,B} = \dfrac{\Delta\varphi}{2}\). С учетом этого обстоятельства из этого равенства следует формула для расчета гравитационной постоянной \[G = \frac{h^2}{4mMR}\,K\,\Delta\varphi. \qquad (7)\] Угол закручивания нити в положении равновесия можно определить из представленного графика. Но в формулу входит неизвестный модуль кручения нити \(K\). Эта же характеристика нити определяет период крутильных колебаний коромысла с шариками. Период свободных колебаний можно определить из имеющегося графика. Получим формулу для периода этих колебаний. Для чего запишем закон сохранения энергии при таких колебаниях \[2\,\frac{mR^2\omega^2}{2} + \frac{K\varphi^2}{2} = E. \qquad (8)\] Это есть уравнение гармонических колебаний с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{2mR^2}{K}}. \qquad (9)\] Таким образом, нужный модуль кручения выражается через период крутильных колебаний \[K = \frac{8\pi^2 mR^2}{T^2}. \qquad (10)\] Подставим его значение в формулу для определения гравитационной постоянной \[G = \frac{h^2}{4mMR}K\Delta\varphi = \frac{h^2}{4mMR}\cdot\frac{8\pi^2 mR^2}{T^2}\Delta\varphi = \frac{2\pi^2 Rh^2}{MT^2}\Delta\varphi. \qquad (11)\] Тем самым мы получили формулу для расчета гравитационной постоянной, в которую входят только измеряемые величины \[G = \frac{2\pi^2 Rh^2}{MT^2}\,\Delta\varphi \approx 2{,}96\cdot 10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}. \qquad (12)\] что ниже табличного значения.

Помимо геометрических размеров из полученных результатов следует определить с максимальной точностью две величины: \(\Delta\varphi\) — смещение положения равновесия при изменении положения больших шаров; \(T\) — период колебаний.

1. Положения равновесия.

Способ 1. Просто по графику снять значения углов, к которым стремятся графики затухающих колебаний.

Способ 2. По трем точкам (метод Кавендиша). Г. Кавендиш использовал следующую формулу (логически понятную) \[\bar\varphi = \frac{\dfrac{\varphi_1 + \varphi_3}{2} + \varphi_2}{2}. \qquad (13)\] Способ 3. По трем точкам с учетом затухания. Функция, описывающая затухающие колебания, имеет вид \[\varphi(t) = \bar\varphi + A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\cos\omega t. \qquad (14)\] Для точек максимального отклонения можно записать \[\left(\varphi_n - \bar\varphi\right) = k\left(\varphi_{n-1} - \bar\varphi\right), \qquad (15)\] где \(k\) — коэффициент затухания за половину периода колебаний. Тогда для трех первых точек получаем систему уравнений \[\left(\varphi_2 - \bar\varphi\right) = -k\left(\varphi_1 - \bar\varphi\right), \qquad \left(\varphi_3 - \bar\varphi\right) = -k\left(\varphi_2 - \bar\varphi\right). \qquad (16)\] с двумя неизвестными величинами. Решая ее относительно \(\bar\varphi\), получим \[\bar\varphi = \frac{\varphi_2^2 - \varphi_1\varphi_3}{2\varphi_2 - \left(\varphi_1 + \varphi_3\right)}. \qquad (17)\] Способ 4. По «всем точкам»: применить рекуррентную формулу (16) ко всем точкам экстремумов \[\left(\varphi_{n+1} - \bar\varphi\right) = -k\left(\varphi_n - \bar\varphi\right). \qquad (18)\] Из которой следует, что \[\varphi_{n+1} = -k\varphi_n + \left(1 + k\bar\varphi\right). \qquad (19)\] Эта зависимость может быть использована для определения величин \(k\) и равновесного положения. В таблице и на графиках показаны эти зависимости для двух положений.

По коэффициентам этих графиков можно рассчитать значения положений равновесия: \[\bar\varphi_A = 0{,}995, \qquad \bar\varphi_B = 1{,}687. \qquad (18)\] Что крайне мало отличается от значений, снятых «на глаз».

2. Определение периода колебаний.

1 способ. Просто снять значения времен нескольких колебаний. Получается значение периода \(T = 250\) с. (19)

2 способ. Усреднить периоды для разных положений равновесия. Для случая В к временам \(t_n\) прибавлено произвольное число 5, чтобы графики не перекрывались.

По результатам измерений и последующему усреднению получено значение \(T = 248\) с. (20)

Учет изменения периода вследствие затухания. Известно, что частота затухающих колебаний отличается от частоты свободных колебаний: \[\omega^2 = \omega_0^2 - \frac{1}{\tau^2}. \qquad (21)\] Откуда следует, что период колебаний, полученный в результате расчетов (9), должен определяться из формулы \[\frac{4\pi^2}{T_0^2} = \frac{4\pi^2}{T^2} + \frac{1}{\tau^2}. \qquad (22)\] Проведенная обработка позволяет учесть и эту поправку.