Постоянный ток

Схема переходит сама в себя при повороте на \(120^\circ\) вокруг центрального узла. Используйте эту симметрию, чтобы найти токи, втекающие в центральный узел, и равные потенциалы вершин, а затем запишите разность потенциалов по двум путям между узлами.

Первое решение. Заметим, что схема переходит сама в себя при повороте на \(120^\circ\) вокруг центрального узла. У всех источников постоянного тока один узел общий, а вторые узлы подключены к эквипотенциальным точкам. Значит через источники протекают одинаковые токи, при этом равные \(I_0\), поскольку \(R \ll r\).

Также из симметрии следует, что должны быть равны и токи \(I_1\), втекающие в центральный узел.

Алгебраическая сумма токов для центрального узла равна 0, значит \(I_1 = I_0\).

Расставим токи, текущие через элементы цепи, находящиеся в вершине \(A\), в силу симметрии такие же токи протекают через элементы, находящиеся в вершинах \(B\) и \(C\).

Пусть через каждый из оставшихся элементов цепи протекает некоторый ток \(I_2\). Так как схема симметрична, потенциалы узлов \(A\) и \(C\) равны, тогда разность потенциалов \(\varphi_C - \varphi_A = 0\). Или \[IR - I_2R + IR = 0 \;\Rightarrow\; I_2 = 2I.\]

Тогда \[I_0 = I + 2I + 2I = 5I \;\Rightarrow\; I_{\min} = I = \frac{I_0}{5}.\]

Второе решение.

Расставим токи по перемычкам цепи \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\), \(I_5\). Потенциал в центральной точке цепи примем равным нулю. Запишем разность потенциалов между узлами 3 и 1: \[\Delta\varphi_{13} = RI_3 = RI_2 + RI_2 = 2RI_2 \;\Rightarrow\; I_3 = 2I_2.\] В силу симметрии цепи \(\varphi_2 = \varphi_3\) (при повороте на \(120^\circ\) цепь переходит сама в себя), поэтому \[\Delta\varphi_{12} = \Delta\varphi_{13} \;\Rightarrow\; RI_1 = RI_3 \;\Rightarrow\; I_1 = I_3.\] Запишем закон сохранения заряда для узла 1: \[I_0 = I_1 + I_2 + I_3 = 2I_3 + I_2 = 5I_2 \;\Rightarrow\; I_2 = \frac{I_0}{5}.\]