Аргон под невесомым поршнем

Распределение давления по высоте в атмосфере — барометрическое; число молей газа в сосуде задано, и это условие определяет высоту поршня.

Вопрос 1. Распределение Больцмана (барометрическая формула) для газа у основания с давлением \(P_b\) при температуре \(T\): \(p(y)=P_b\,e^{-M_{Ar}gy/(RT)}\). Число молей в сосуде, интегрируя по высоте до поршня \(H_0\): \[\nu=\frac{S\,P_b}{M_{Ar}g}\left(1-e^{-M_{Ar}gH_0/(RT)}\right).\] Поршень в равновесии, давление у основания внутри сосуда равно \(P_0\), откуда \[H_0=-\frac{RT}{M_{Ar}g}\ln\left(1-\frac{\nu M_{Ar}g}{SP_0}\right).\]

Вопрос 2. При охлаждении температура внутри сосуда \(T_1\), снаружи остаётся \(T\). Равенство давлений на поршень снаружи и изнутри на высоте \(H\): \[P_0\,e^{-M_{Ar}gH/(RT)}=P_1\,e^{-M_{Ar}gH/(RT_1)},\] где \(P_1\) — давление у основания внутри сосуда. Число молей даёт \(\nu=\dfrac{SP_1}{M_{Ar}g}\left(1-e^{-M_{Ar}gH/(RT_1)}\right)\). Исключая \(P_1\), получаем \[e^{M_{Ar}gH/(RT_1)}-1=\frac{\nu M_{Ar}g}{SP_0}\,e^{M_{Ar}gH/(RT)},\] откуда \[T_1=\frac{M_{Ar}gH}{R\ln\left(\dfrac{\nu M_{Ar}g}{SP_0}\,e^{M_{Ar}gH/(RT)}+1\right)}.\]