Мокрое колесо на поверхности
9/10Мокрое колесо радиусом \(R\), вращающееся с частотой \(\omega_0\), держат навесу. В некоторый момент колесо поставили на поверхность, и оно начало двигаться вдоль неё. Спустя время \(t\) колесо продолжало движение, вращаясь так, что с каждой точки его поверхности срывались капли с начальной скоростью, равной скорости этой точки. Определите, чему равна максимальная высота, которой достигли капли, оторвавшиеся от поверхности колеса в момент времени \(t\). Коэффициент трения скольжения колеса о поверхность — \(\mu\). Трением качения пренебрегите.
Примечание: угловое ускорение \(\vec\beta\) связано с моментом приложенных сил соотношением \(I\vec\beta=\vec M\), где \(I\) — момент инерции тела относительно оси вращения, \(\vec M\) — суммарный момент внешних сил относительно этой же оси. Для круглого колеса, вращающегося вокруг своей оси, \(I=\dfrac{mR^2}{2}\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаПока колесо проскальзывает, сила трения действует и на поступательное, и на вращательное движение. Найдите момент, когда скорость точки касания станет равна нулю, и опишите полёт капель в системе центра колеса.
ОтветПри \(t\le\dfrac{\omega_0R}{3\mu g}\): \(H=R+\dfrac{gR^2}{2(\omega_0R-2\mu gt)^2}+\dfrac{(\omega_0R-2\mu gt)^2}{2g}\); при \(t>\dfrac{\omega_0R}{3\mu g}\): \(H=R+\dfrac{9g}{2\omega_0^2}+\dfrac{\omega_0^2R^2}{18g}\).
Решение1. Поступательное движение при проскальзывании: ускорение \(a=\mu g\), скорость центра \(v_{п}(t)=\mu gt\).
2. Вращение: \(I\beta=M\), \(I=\dfrac{mR^2}{2}\), \(M=-\mu mgR\), отсюда \(\beta=-\dfrac{2\mu g}{R}\), \(\omega(t)=\omega_0-\dfrac{2\mu g}{R}t\).
3. Переход к качению без проскальзывания (\(\omega R=v\)): \[\omega_0R-2\mu gt=\mu gt\quad\Rightarrow\quad \tilde t=\frac{\omega_0R}{3\mu g}.\]
4. Полёт капель. В системе центра колеса капля вылетает по касательной со скоростью \(v=\omega(t)R=\omega_0R-2\mu gt\) под углом \(\varphi\). Высота вылета \(y_0=R+R\sin\varphi\). Максимальная высота капли \[y_{\max}(\varphi,t)=R+R\sin\varphi+\frac{v^2\cos^2\varphi}{2g}.\]
5. Из условия \(\dfrac{\partial y_{\max}}{\partial\varphi}=0\) получаем \(\sin\varphi=\dfrac{gR}{v^2}\), тогда \[y_{\max}(t)=R+\frac{gR^2}{2v^2}+\frac{v^2}{2g}.\] Это выражение справедливо при \(t\le\tilde t\).
6. При \(t>\tilde t\) колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью \(v=\omega_0R-2\mu g\tilde t=\dfrac{\omega_0R}{3}\), и в формулу подставляется это значение: \[y_{\max}=R+\frac{9g}{2\omega_0^2}+\frac{\omega_0^2R^2}{18g}.\]
Похожие задачи
- Горка профессора Вагнера «Покори Воробьёвы горы!» 2016/17, 10–11 кл.