Нить, намотанная на цилиндр

Сила, прижимающая нить к цилиндру, пропорциональна натяжению \(T\). Запишите изменение натяжения на малом участке нити и решите получившееся уравнение.

Пусть \(T(l)\) — натяжение нити на длине \(l\), отсчитываемой от точки, где нить впервые касается цилиндра. На участке \(dl\) сила трения \(\mu f\,dl\), где \(f\) — линейная плотность силы, прижимающей нить к цилиндру. Тогда \[T(l+dl)-T(l)=\mu f\,dl,\qquad \frac{\partial T}{\partial l}=\mu f.\] Сила, прижимающая участок \(dl\) к цилиндру, \(f\,dl=2T\sin\alpha\approx 2T\alpha\), где \(dl=2\alpha R\), поэтому \(f=\dfrac{T}{R}\) и \[\frac{\partial T}{\partial l}=\frac{\mu}{R}\,T,\qquad T(l)=T_0\,e^{\mu l/R}.\] В начальной точке \(T(0)=mg\). Длина \(N\) витков \(2\pi RN\), поэтому натяжение в конце намотки, равное искомой силе: \[F=T(2\pi RN)=mg\,e^{2\pi\mu N}.\]