Серый ящик

Сравните показания вольтметра при подключении к источнику через разные выводы «серого» ящика и учтите, что собственное сопротивление вольтметра соизмеримо с \(r\).

Предварительные эксперименты показывают, что внутреннее сопротивление вольтметра \(R_В\) соизмеримо с \(r\), и его нужно учитывать. Подключая вольтметр к источнику через разные выводы ящика, по показаниям сопоставляем выводы схемы и выводы ящика: чем меньше сопротивление резистора, включённого параллельно вольтметру, тем меньше его показание. Так получаем соответствие \(C \to 1\), \(B \to 2\), \(A \to 3\).

По закону Ома для трёх измерений (без резистора, с \(R_1\) последовательно с вольтметром и с \(R_1\) параллельно вольтметру): \[U_0 = U\,\frac{R_В}{r + R_В}, \qquad U_1 = U\,\frac{R_В}{r + R_1 + R_В}, \qquad U_2 = U\,\frac{R_1 R_В}{r R_1 + R_1 R_В + r R_В}.\] Перейдя к обратным величинам и вычтя из выражений для \(1/U_1\) и \(1/U_2\) выражение для \(1/U_0\), получаем \[\frac{U_1}{U_0 - U_1} = \frac{R_В + r}{R_1}, \qquad \frac{U_2}{U_0 - U_2} = R_1\,\frac{r + R_В}{r R_В}.\] Перемножив эти соотношения, получим \(k = \dfrac{U_1U_2}{(U_0-U_1)(U_0-U_2)} = \dfrac{(r+R_В)^2}{r R_В}\). Для измеренных значений \(U_0 = 1668\) мВ, \(U_1 = 985\) мВ, \(U_2 = 1213\) мВ получается \(k \approx 3{,}85 \approx 4\), откуда \(R_В \approx r\). Тогда \[R_1 \approx 2r\,\frac{U_0 - U_1}{U_1} \approx 1{,}4~\text{кОм}.\] Аналогично для \(R_2\) при измерениях \(U_1' = 1334\) мВ и \(U_2' = 842\) мВ: \(R_2 \approx 2r\,\dfrac{U_0-U_1'}{U_1'} \approx 0{,}5\) кОм.