Дважды в одной точке

Тело дважды проходит одну точку, значит, оно разворачивается. Как связаны моменты \(t_1\), \(t_2\) и момент остановки?

Тело дважды попадает в одну точку, значит, оно разворачивается, и векторы начальной скорости и ускорения направлены противоположно. Движение от начальной точки до остановки и обратно занимает одинаковое время, поэтому момент остановки находится посередине между \(t_1\) и \(t_2\): \[t_0 = \frac{t_1 + t_2}{2}.\] Скорость тела снова станет равна начальной, когда тело вернётся в начальную точку, то есть через время \(2t_0\). Так как скорость в момент \(t_0\) равна нулю, \[v_0 = a\,t_0 = a\,\frac{t_1 + t_2}{2}.\] Закон движения для момента \(t_1\): \[x_1 - x_0 = v_0 t_1 - \frac{a t_1^2}{2}.\] Подставляя \(v_0\), получаем \(x_1 - x_0 = \dfrac{a\,t_1 t_2}{2}\), откуда \[a = \frac{2(x_1 - x_0)}{t_1 t_2}.\] Путь \(S\) до момента, когда скорость равна начальной, равен удвоенному пути от начальной точки до точки остановки: \[S = 2\cdot\frac{a\,(t_1 + t_2)^2}{8} = \frac{(x_1 - x_0)(t_1 + t_2)^2}{2\,t_1 t_2}.\]