Паровая плёнка и пузырьковое кипение

Стальной шарик (\(m = 110\) г, \(R = 1{,}5\) см, \(c = 500\) Дж/кг\(\cdot{}^\circ\)C), нагретый до температуры \(T_1 = 500\,^\circ\)C, лежит на теплоизолирующей подставке в прозрачном сосуде, который заполняют дистиллированной водой (\(m_0 = 0{,}4\) кг, \(T_0 = 20\,^\circ\)C), так что шарик оказывается примерно в середине столба воды. Наблюдается интересное явление. Вокруг шарика очень быстро образуется тонкая паровая плёнка, после этого некоторое время толщина плёнки остаётся постоянной, равной \(d = 0{,}5\) мм, образование пузырьков пара (как при кипении) не наблюдается, теплообмен между водой и шариком происходит через плёнку. В момент, когда температура шарика уменьшается до \(T_2 = 250\,^\circ\)C, плёнка <<срывается>> — и в жидкости вблизи шарика начинается бурное кипение, которое продолжается до тех пор, пока температура шарика не уменьшится до \(T_\text{к} = 100\,^\circ\)C. Можно считать, что в процессах образования плёнки и пузырькового кипения всё количество теплоты, отданное шариком, идёт на испарение воды, но треть пара во всплывающих пузырьках (образовавшихся при кипении) конденсируется. Теплообменом с окружающей средой и теплоизолирующей подставкой, а также нагревом пара можно пренебречь. Определите температуру воды к моменту окончания теплообмена между шариком и водой. Удельная теплоёмкость и теплота испарения воды равны \(c_0 = 4200\) Дж/кг\(\cdot{}^\circ\)C и \(L = 2{,}2 \cdot 10^6\) Дж/кг. Средняя плотность пара равна \(\rho \approx 0{,}6\) кг/м\(^3\). Объём шара радиусом \(R\) определяется по формуле \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).