Однородный кубик со стороной \(a\) и плотностью \(\rho\) поместили внутрь куска глины с плотностью \(4\rho\), которому придали форму куба со стороной \(2a\). Получившийся куб облепили пластилином плотностью \(2\rho\), в результате чего получился куб со стороной \(3a\) (см. рисунок). Определите среднюю плотность получившейся системы.

\(\rho_{\text{ср}} = \dfrac{67}{27}\rho \approx 2{,}5\rho\).

Кубик в кубе (теоретический тур) — Максвелл 2015/16, 7 кл., задача 4

Кубик в кубе (теоретический тур)
Максвелл 2015/16, 7 кл.
3/10

Однородный кубик со стороной \(a\) и плотностью \(\rho\) поместили внутрь куска глины с плотностью \(4\rho\), которому придали форму куба со стороной \(2a\). Получившийся куб облепили пластилином плотностью \(2\rho\), в результате чего получился куб со стороной \(3a\) (см. рисунок). Определите среднюю плотность получившейся системы.
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ
\(\rho_{\text{ср}} = \dfrac{67}{27}\rho \approx 2{,}5\rho\).
Решение
Среднюю плотность системы можно рассчитать, определив объёмы глины и пластилина и выразив их через объём \(V = a^3\) маленького кубика. Эти объёмы не зависят от взаимного расположения кубика, глины и пластилина: объём глины \(V_{\text{гл}} = (2a)^3 - a^3 = 7a^3\), объём пластилина \(V_{\text{пл}} = (3a)^3 - (2a)^3 = 19a^3\).

Тогда масса системы \(m = \rho a^3 + 4\rho\cdot 7a^3 + 2\rho\cdot 19a^3 = 67\rho a^3\), объём системы \(27a^3\), и средняя плотность \[\rho_{\text{ср}} = \frac{67}{27}\rho \approx 2{,}5\rho.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Кубик в кубе (теоретический тур)

Кубик в кубе (теоретический тур)

Похожие задачи