Серый ящик

Подсказка

Соединяя выводы попарно и измеряя сопротивление между ними, получаете параллельные комбинации резисторов. Из трёх таких измерений для каждого треугольника или звезды находятся сопротивления по отдельности.

Решение

Измеряем сопротивления \(R_a\), \(R_б\), \(R_в\) при разных парах замкнутых выводов:

1. \(R_a\) между замкнутыми выводами \(БД\) и замкнутыми \(ВГ\): параллельное соединение \(R_3\) и \(R_5\), \(\dfrac{1}{R_a} = \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_5}\);

2. \(R_б\) между замкнутыми \(БГ\) и выводом \(В\): параллельное соединение \(R_3\) и \(R_6\), \(\dfrac{1}{R_б} = \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_6}\);

3. \(R_в\) между замкнутыми \(ВД\) и выводом \(Г\): параллельное соединение \(R_5\) и \(R_6\), \(\dfrac{1}{R_в} = \dfrac{1}{R_5} + \dfrac{1}{R_6}\).

Отсюда \[\frac{1}{R_3} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_б} - \frac{1}{R_в}\right), \quad \frac{1}{R_5} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_в} - \frac{1}{R_б}\right), \quad \frac{1}{R_6} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_в} + \frac{1}{R_б} - \frac{1}{R_a}\right).\]

Теперь соединим выводы \(Б\), \(В\) и \(Г\). Получится треугольник из резисторов: две стороны — резисторы \(R_1\) и \(R_4\), третья — параллельное соединение \(R_2\) и \(R_5\). Измеряя сопротивления между разными парами выводов, видим, что \(R_1\), \(R_2\) и \(R_4\) заметно меньше остальных. Для повышения точности к резистору \(R_2\) присоединим параллельно максимально сравнимый с ним, то есть обладающий наименьшим сопротивлением из оставшихся. Получаем эквивалентную схему:

Измерения:

1. соединим \(Б\) и \(Д\), измерим \(R_x\) между ними и выводом \(А\): \(\dfrac{1}{R_x} = \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_1}\);

2. вместо \(Б\) и \(Д\) соединим \(Б\) и \(А\), измерим \(R_y\) между ними и выводом \(Д\): \(\dfrac{1}{R_y} = \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_5}\);

3. вместо \(Б\) и \(А\) соединим \(Д\) и \(А\), измерим \(R_z\) между ними и выводом \(Б\): \(\dfrac{1}{R_z} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_5}\).

Тогда \[\frac{1}{R_1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_z} - \frac{1}{R_y}\right), \quad \frac{1}{R_4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_y} - \frac{1}{R_z}\right), \quad \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_z} + \frac{1}{R_y} - \frac{1}{R_x}\right) - \frac{1}{R_5}.\]

Результаты измерений и расчётов (авторские значения могут отличаться от выданного оборудования):

Как видно из таблицы, наименьшим сопротивлением обладает резистор \(R_1\).

Для ответа на третий вопрос рассчитываем для каждого резистора величину, обратную его сопротивлению, и смотрим, какие из них дают в сумме \(\dfrac{1}{167~\text{Ом}}\). Подходят \(R_1\) и \(R_2\), то есть нужно соединить выводы \(А\), \(В\), \(Г\) и \(Д\) и измерять сопротивление между ними и выводом \(Б\). Число, очень близкое к \(167\) Ом, получается и при измерении \(R_z\).

Погрешность измеряемых сопротивлений составляет \(1\%\), поэтому погрешности величин \(1/R\) тоже \(1\%\). Абсолютные погрешности величин \(1/R\) складываются: \[\Delta\!\left(\frac{1}{R_1}\right) = \frac{1}{2}\left(\Delta\!\left(\frac{1}{R_x}\right) + \Delta\!\left(\frac{1}{R_y}\right) + \Delta\!\left(\frac{1}{R_z}\right)\right),\] откуда \(\varepsilon(R_1) = \Delta\!\left(\frac{1}{R_1}\right) R_1\) и \(\Delta(R_1) = \Delta\!\left(\frac{1}{R_1}\right) R_1^2\). Для остальных сопротивлений погрешность вычисляется аналогично.