Сегмент заряженной сферы

Сила, действующая на малый элемент поверхности, равна его заряду, умноженному на поле остальной сферы в месте элемента. Это поле вдвое меньше поля у поверхности снаружи. Суммируйте проекции сил на ось сегмента.

Очевидно, что минимальная сила, которую нужно приложить к сегменту (и остальной части сферы), равна силе отталкивания сегмента от остальной части сферы. Найдём эту силу. Для этого рассмотрим очень маленький элемент площадью \(\Delta S\) поверхности равномерно заряженной зарядом \(Q\) сферы радиуса \(R\) и найдём, с какой силой этот элемент отталкивается от остальной сферы. Поскольку этот элемент очень мал, то действующую на него силу можно представить как \[F = \Delta Q\, E_{\text{о.с.}} ,\] где \(\Delta Q\) — заряд этого элемента, \(E_{\text{о.с.}}\) — напряжённость электрического поля остальной сферы в тех точках, в которых находится элемент \(\Delta S\). Заряд \(\Delta Q\) легко найти из условия равномерной заряженности сферы: \[\Delta Q = \frac{\Delta S}{4\pi R^2}\,Q ,\] так как площадь поверхности сферы \(S = 4\pi R^2\).

Напряжённость электрического поля остальной сферы в точках, где расположен элемент \(\Delta S\), можно найти из следующих соображений. С одной стороны, электрическое поле сферы во всех точках складывается из поля, создаваемого рассматриваемым элементом \(\Delta S\), и остальной сферой: \[\vec E = \vec E_{\Delta S} + \vec E_{\text{о.с.}} .\] С другой стороны, электрическое поле сферы вблизи элемента \(\Delta S\) снаружи сферы равно \(E = \dfrac{kQ}{R^2}\) (здесь \(k = (4\pi\varepsilon_0)^{-1}\) — постоянная закона Кулона), внутри сферы — равно нулю. Поскольку электрические поля, создаваемые элементом \(\Delta S\) снаружи и внутри сферы, одинаковы по величине и противоположно направлены, то поле остальной полусферы в точках, где расположен элемент \(\Delta S\), равно половине поля сферы вблизи её поверхности снаружи сферы: \[E_{\text{о.с.}} = \frac{kQ}{2R^2} .\] Поэтому сила, действующая на элемент \(\Delta S\) со стороны остальной сферы, по величине равна \[F = \frac{\Delta S}{4\pi R^2}\,Q\,\frac{kQ}{2R^2} = \frac{\Delta S\,Q^2}{2(4\pi)^2\varepsilon_0 R^4} ,\] и направлена по радиусу сферы из центра (элемент \(\Delta S\) отталкивается от остальной сферы).

Используя эту формулу, можно найти и силу, действующую на сегмент сферы. Для этого мысленно разобьём сегмент на малые площадки, найдём силы, действующие на каждую площадку, и просуммируем векторы сил. При этом для силы, действующей на каждую площадку, можно использовать формулу выше, дающую силу её взаимодействия со всей сферой, а не только с оставшейся после отрезания сегмента частью. Это связано с тем, что после суммирования силы, действующие между площадками отрезанного сегмента, сократятся по третьему закону Ньютона. И поскольку сила, действующая на отрезанный сегмент, направлена по его оси (это следует из симметрии задачи), то можно суммировать не векторы сил, а их проекции на ось сегмента.

Итак, рассмотрим малую площадку сегмента площадью \(\Delta S\), которую видно из центра сферы под углом \(\alpha\) к оси сегмента (см. рисунок; рассматриваемая площадка выделена жирным). Она отталкивается от остальной сферы с силой, найденной выше, поэтому суммарная сила, действующая на сегмент, равна сумме проекций на ось сегмента всех сил, действующих на площадки сегмента

\[F_{\text{рез}} = \sum F\cos\alpha ,\] где \(F_{\text{рез}}\) — результирующая сила, действующая на сегмент, суммирование осуществляется по всем площадкам сегмента. Используя формулу для \(F\), получим \[F_{\text{рез}} = \sum \frac{\Delta S\,Q^2}{2(4\pi)^2\varepsilon_0 R^4}\cos\alpha .\] Поскольку множители \(Q^2\), \((4\pi)^2\), \(\varepsilon_0\) и \(R^4\) одинаковы у каждого слагаемого суммы, их можно вынести за знак суммы. В результате получим \[F_{\text{рез}} = \frac{Q^2}{2(4\pi)^2\varepsilon_0 R^4}\sum \Delta S\cos\alpha .\] Но величина \(\Delta S\cos\alpha\) имеет смысл проекции площади рассматриваемой площадки на основание сегмента. Поэтому сумма таких величин даёт площадь основания сегмента. Так как площадь основания сегмента равна \[S = \pi\left(R^2 - (R-h)^2\right) = \pi h(2R - h) ,\] то для силы, с которой сегмент отталкивается от остальной части сферы (и соответственно для минимальной силы, которой нужно удерживать сегмент), имеем окончательно \[F_{\text{рез}} = \frac{Q^2 h(2R - h)}{32\pi\varepsilon_0 R^4} ,\] где \(h\) — высота сегмента. Для \(h = R/3\) получаем \[F_{\text{рез}} = \frac{5Q^2}{288\pi\varepsilon_0 R^2} = \frac{5kQ^2}{72R^2} ,\] где \(k = (4\pi\varepsilon_0)^{-1}\) — постоянная закона Кулона.