Стакан с пенопластовыми шариками

В момент начала всплытия сила Архимеда на шарики равна их весу. Выразите объём шариков через высоту их насыпки и уровень жидкости.

Пусть площадь сечения стакана — \(S\), высота — \(H\). Тогда его объём \(V = SH\). По условию вес стакана равен \(P_1\). Вес стакана с шариками и водой \(P_2\) складывается из веса стакана, шариков и воды. Пусть в тот момент, когда шарики начали всплывать, мы налили в стакан жидкость высотой \(h\). Поскольку действующая на шарики сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости, а в момент начала всплытия сила Архимеда равна весу всех шариков, то произведение \(\rho_0 g S h\) (\(\rho_0\) — плотность жидкости) равно суммарному весу жидкости и всех шариков. Поэтому \[P_2 = P_1 + \rho_0 g h S .\] С другой стороны, в момент всплывания шариков действующая на них сила Архимеда равна силе тяжести. Поэтому \[\rho_0 g V_{\text{в жидк.}} = \rho\, g V_{\text{ш}} ,\] где \(V_{\text{в жидк.}}\) — объём шариков, находящихся в жидкости, \(V_{\text{ш}}\) — объём всех шариков, \(\rho\) — плотность шариков. Отсюда \[\frac{\rho_0}{\rho} = \frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{в жидк.}}} .\] Но поскольку шариков много и они маленькие, то отношение объёма всех шариков к объёму шариков, находящихся в жидкости, равно отношению высот насыпки шариков в стакан (т. е. \(H\)) к высоте уровня воды в стакане \(h\): \[\frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{в жидк.}}} = \frac{H}{h} .\] Отсюда находим \[\rho_0 = \frac{H}{h}\,\rho .\] Подставляя плотность жидкости в формулу для \(P_2\), находим \[\rho g H S = P_2 - P_1 ,\] и, учитывая \(V = SH\), \[\rho = \frac{P_2 - P_1}{gV} .\]