Насыщенный пар

Нагретый воздух из шприца вытесняется в трубку, где при комнатной температуре его объём можно найти по перемещению капли в трубке. Запишите закон сохранения количества сухого воздуха в системе до и после нагрева.

Пункт 1. Выдвинем поршень большого шприца в максимальное положение. Длина объёма воздуха внутри шприца \(z = (7{,}9 \pm 0{,}1)\) см, длина шкалы, соответствующая \(V_0 = (20{,}0 \pm 0{,}1)\) мл, — \(z_0 = (6{,}9 \pm 0{,}1)\) см. Тогда \[V = V_0\frac{z}{z_0} = (22{,}9 \pm 0{,}7)~\text{мл}.\] Площадь сечения трубки определяем по объёмам жидкости в шприце \(v_1 = 1{,}00\) мл и \(v_2 = 0{,}10\) мл между двумя отметками на трубке, расстояние между которыми \(l = (13{,}8 \pm 0{,}1)\) см: \[s = \frac{v_1 - v_2}{l} = (6{,}5 \pm 0{,}2)\cdot 10^{-2}~\text{см}^2.\] Комнатная температура \(T_0 = (23 \pm 1)\,^\circ\)C \(\approx 296\) K.

Установка показана на рисунке. Капля в трубке, соединённой с нагретым шприцем, сдвигается от шприца; по смещению её дальней от шприца границы за время \(5\) мин, \(l_d = (10{,}7 \pm 0{,}1)\) см, находим объём воздуха, вытекшего из шприца. Пусть воздух, вышедший из шприца в трубку, имеет температуру окружающей среды. Тогда условие сохранения количества воздуха даёт \[\frac{p_0(V + V_t)}{T_0} = \frac{p_0(l_d s + V_t)}{T_0} + \frac{p_0 V}{T_h},\] где \(V_t\) — объём воздуха в трубке до её нагрева. Отсюда \[T_h = \frac{T_0}{1 - \dfrac{s\,l_d}{V}} = 305{,}3~\text{K} = (32{,}3 \pm 1{,}6)\,^\circ\text{C}.\]

Пункты 2–3. Давление насыщенного пара определяем после растекания капли по стенкам шприца: \(x_0 = (31{,}5 \pm 0{,}1)\) см — координата дальней границы капли до опыта, \(x_c = (56{,}3 \pm 0{,}1)\) см — конечная, \(l_0 = (16{,}0 \pm 0{,}1)\) см — длина капли до опыта, \(l = (14{,}0 \pm 0{,}1)\) см — её длина в конце. Из сохранения количества сухого воздуха \[p_c = p_0\,\frac{(x_c - x_0)s}{V + (x_c - l_0)s} = (6{,}5 \pm 0{,}5)~\text{кПа}.\] Для промежуточного момента времени, когда давление пара в шприце \(p\) ещё не достигло насыщения, из того же условия сохранения сухого воздуха \[p = \frac{p_0(x - x_0)s - p_c(x - l)s}{V - (l_0 - l)s}.\] Результаты измерений и расчёта приведены в таблице (рис.).

Модель испарения: скорость испарения с поверхности капли постоянна, а скорость конденсации пропорциональна давлению пара над каплей. Тогда \[\frac{dp}{dt} = \frac{p_c - p}{\tau},\] где \(\tau\) — постоянная. Решение этого уравнения: \[\ln\frac{p_c - p}{p_c} = -\frac{t}{\tau},\] то есть линеаризованный график — зависимость \(\ln(p_c - p)\) от \(t\).

Пункт 4. Пересчитываем значения и строим график \(\ln\big((p - p_c)/\text{кПа}\big)\) от \(t\). Точки не ложатся на прямую: угловой коэффициент при малых временах больше, чем в конце. Модель в этом случае не выполняется.

Экспериментальные точки можно обработать и иначе: по графику \(p(t)\) провести касательные и найти скорость изменения давления \(dp/dt\) при нескольких значениях \(p\).

Точки \(dp/dt\) от \(p\) описываются линейной функцией, однако экстраполяция показывает, что скорость изменения давления обращается в ноль при \(p \approx 5{,}6\) кПа, что меньше измеренного давления насыщенного пара. Это значит, что процесс испарения остановился бы при меньшей температуре поверхности жидкости.

Пункт 5. Шприц с насыщенным паром жидкости кладём в руку; через 5 минут координата метки \(x_h = (78{,}5 \pm 0{,}1)\) см. Давление пара в шприце при температуре \(T_h\): Давление пара в шприце при температуре \(T_h\) из условия сохранения сухого воздуха в системе с учётом объёма капли \((l_0 - l)s \ll V\) (что допустимо) даёт \[p_h = -p_0\frac{l_d s}{V} + p_0\frac{T_h}{T_c}\frac{(x_h - x_0 + l_0 - l)s}{V} - p_c\frac{T_h}{T_c}\frac{(x_h - l)s}{V}.\] С учётом \((l_0 - l)s \ll V\) слагаемые имеют смысл: \(p_1 = -p_0\dfrac{l_d s}{V} = -(3{,}1 \pm 0{,}3)\) кПа — нагревание сухого воздуха в шприце; \(p_2 = p_0\dfrac{T_h}{T_c}\dfrac{(x_h - x_0 + l_0 - l)s}{V} = (14{,}7 \pm 1{,}3)\) кПа — заполнение воздухом трубки; \(p_3 = -p_c\dfrac{T_h}{T_c}\dfrac{(x_h - l)s}{V} = -(1{,}2 \pm 0{,}2)\) кПа — влажный воздух в трубке. Итого \[p_h = p_1 + p_2 + p_3 = (10{,}3 \pm 1{,}7)~\text{кПа}.\]

Пункт 6. По точкам \((T_c; p_c)\) и \((T_h; p_h)\) на координатной бумаге проводим линии и оцениваем давление при \(28\,^\circ\)C:

получаем \(p_{28} = (8{,}7 \pm 1{,}2)\) кПа.