Безопасная дистанция

Если машины не встречаются до полной остановки, то безопасное расстояние между ними складывается из разности тормозных путей до полной остановки и длины участка, на котором задний автомобиль движется с постоянной скоростью. Такой сценарий однозначно реализуется, если сзади едет машина, тормозящая с меньшим ускорением \(a_1\) (рис. 17). Безопасная дистанция при этом принимает большее значение \(L_2\): \[L_2 = v\tau + \frac{v^2}{2a_2} - \frac{v^2}{2a_1} = v\tau + \frac{v^2}{2}\cdot\frac{a_2-a_1}{a_1a_2}.\]

Возможна ситуация, при которой задняя машина, начинающая торможение позже, но движущаяся затем с большим ускорением, догоняет переднюю, когда та ещё не остановилась (рис. 18). Для реализации этого случая необходимо выполнение условия \[\tau + \frac{v}{a_2} < \frac{v}{a_1}, \quad\text{или}\quad v > \frac{a_1a_2}{a_2-a_1}\,\tau.\] Тогда безопасная дистанция рассчитывается по формуле \(L_1 = \dfrac{1}{2}\tau(v - v_1)\), и с учётом соотношений \(v - v_1 = a_1 t\) и \(v - v_1 = a_2(t-\tau)\) \[L_1 = \frac{1}{2}\tau^2\,\frac{a_1a_2}{a_2-a_1}, \qquad \text{откуда}\quad L_2 = v\tau + \frac{v^2\tau^2}{4L_1}.\] Решая квадратное уравнение \(v^2\tau^2 + 4L_1 v\tau - 4L_1L_2 = 0\) относительно \(v\), получим \[v = \frac{2L_1}{\tau}\left(\sqrt{1 + \frac{L_2}{L_1}} - 1\right) = 20~\text{м/с}.\] В предположении встречи после остановки первой машины получается ответ \(v = \dfrac{L_1+L_2}{2\tau} = 22{,}5\) м/с, что принципиально неверно для заданных в условии расстояний. Сравнение условия реализации встречи до остановки с формулой для \(v\) даёт простое выражение \(L_2/L_1 > 3\) (рис. 19).