Задачи › Относительность движения, сложение скоростей

Чабаны и овцы

  1. Чабаны и овцы

    ВсОШ 2025/26, 8 кл.
    4/10

    В горной Балкарии огромные стада овец, коров и других животных всё лето проводят на свободном выпасе. Но с наступлением осени пастухи-чабаны гонят стада вниз. Два чабана, Иса и Умар, гонят отару овец уже несколько дней, и вот они достигли места, где дорога разветвляется на два разных ущелья. Чабаны решили разделиться, а после прохождения сложного участка встретиться и обсудить оптимальный маршрут для оставшегося стада. Они разделили стадо на две части и пустили вперёд себя, а сами позже поехали верхом на лошадях параллельно стаду. Иса поехал по левому ущелью, а Умар — по правому. Оказалось, что левое ущелье длиннее (\(l_1 = 5\) км) и сложно проходимо, по нему овцы могут двигаться со скоростью \(v_1 = 2\) км/ч, а правое — короче (\(l_2 = 2\) км), и двигаться по нему овцы могут со скоростью \(v_2 = 5\) км/ч. Овцы идут в ущельях на равных расстояниях друг от друга (в двух ущельях эти расстояния разные). Чабаны перемещаются на лошадях и поэтому могут ехать по любому ущелью со скоростью \(v = 10\) км/ч.

    Рисунок

    1. Найдите, сколько минут Умар ждал Ису после прохождения ущелья. Округлите до целого числа. (2 балла)

    По дороге вниз чабаны по старой привычке считали овец (овца подсчитывается, когда чабан проезжает мимо неё). Умар насчитал \(n_2 = 25\) овец, а Иса — \(n_1 = 80\). Считайте, что очередные овцы зашли в ущелья сразу после чабанов, а последних посчитанных овец чабаны встретили в самом конце ущелий. Встретившись, пастухи на основе полученных данных рассчитали две важные величины, которые помогли им решить, как действовать дальше. Определите их и вы.

    1. Сколько овец единовременно находится в ущельях? (3 балла)

    2. Определите, сколько овец проходит через оба ущелья суммарно за 1 час. (4 балла)

    После встречи Умар поехал назад по ущелью длиной \(l_2\), чтобы спустить всех оставшихся овец.

    1. Сколько овец встретил Умар на обратной дороге? Считайте, что Умар въезжает в ущелье сразу после выхода очередной овцы, а последнюю подсчитанную овцу встречает у другого конца ущелья. (3 балла)

    Условие приведено для варианта 1 (\(l_1 = 5\) км, \(l_2 = 2\) км, \(v_1 = 2\) км/ч, \(v_2 = 5\) км/ч, \(v = 10\) км/ч, \(n_1 = 80\), \(n_2 = 25\)), как в тексте PDF. Параметры вариантов 2–5 — в матрице исходного файла.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сначала найдите время, которое каждый чабан едет по своему ущелью: разница этих времён и есть ожидание. Для остальных пунктов сравните скорость чабана и скорость овец: чем быстрее чабан догоняет овец, тем реже он их встречает.

    Ответ

    1) \(18\) мин;  2) \(150\) овец;  3) \(165\) овец в час;  4) \(75\) овец.

    Решение

    Время, которое Иса едет по длинному ущелью, \(t_{ч1} = l_1/v = 30\) мин; Умар по короткому — \(t_{ч2} = l_2/v = 12\) мин. Время ожидания \(\Delta t_ч = t_{ч1} - t_{ч2} = 18\) мин.

    Пусть расстояние между овцами в ущелье \(\Delta l\). За время движения пастуха по ущелью длины \(l\) он встретит \(n = t/\Delta t\) овец, где \(\Delta t = \Delta l/(v - v_{овец})\) — интервал между встречами. Отсюда расстояние между овцами \(\Delta l_2 = \dfrac{l_2}{n_2}\cdot\dfrac{v - v_2}{v}\), а одновременно в коротком ущелье находится \[n_2^{одн} = \frac{l_2}{\Delta l_2} = \frac{n_2 v}{v - v_2} = \frac{25\cdot10}{5} = 50 \text{ овец}.\] Аналогично для длинного ущелья \(n_1^{одн} = \dfrac{n_1 v}{v - v_1} = \dfrac{80\cdot10}{8} = 100\) овец. Суммарно в ущельях единовременно \(n^{одн} = 50 + 100 = 150\) овец.

    За \(\tau = 1\) ч через короткое ущелье проходит \(N_2 = \dfrac{n_2 v v_2 \tau}{l_2(v - v_2)} = \dfrac{25\cdot10\cdot5\cdot1}{2\cdot5} = 125\) овец, через длинное \(N_1 = \dfrac{n_1 v v_1 \tau}{l_1(v - v_1)} = \dfrac{80\cdot10\cdot2\cdot1}{5\cdot8} = 40\) овец. Всего \(N = N_1 + N_2 = 165\) овец в час.

    Обратный проход Умара по короткому ущелью: интервал между встречами с овцами \(\Delta t_2' = \dfrac{\Delta l_2}{v + v_2}\), поэтому число встреченных овец \[n_2' = \frac{t_2}{\Delta t_2'} = n_2\,\frac{v + v_2}{v - v_2} = 25\cdot\frac{15}{5} = 75.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх