Чёлн из брёвен

Масса бревна — это масса древесины в полом цилиндре. Средняя плотность чёлна — это масса трёх брёвен делить на объём, ограниченный внешними поверхностями. Для части объёма, которая под водой, используйте условие плавания.

Масса одного бревна: \[m_б = \rho_д V_д = \rho_д\,\frac{\pi H}{4}\left(D^2 - d^2\right) = 520\cdot\frac{\pi\cdot2}{4}\left(0{,}09 - 0{,}0256\right) \approx 52{,}6\ \text{кг}.\]

Средняя плотность пустого чёлна — масса трёх брёвен делить на внешний объём \(3\cdot\dfrac{\pi H}{4}D^2\): \[\rho_ч = \frac{3m_б}{3\cdot\frac{\pi H}{4}D^2} = \frac{3\cdot52{,}6}{3\cdot\frac{\pi\cdot2}{4}\cdot0{,}09} \approx 372\ \text{кг/м}^3.\]

Объём, который чёлн погружён в воду при загрузке зерном (условие плавания): \[V_{вытесн} = \frac{3m_б + m}{\rho_в} = \frac{3\cdot52{,}6 + 20}{1000}\ \text{м}^3 \approx 0{,}178\ \text{м}^3.\] Внешний объём чёлна \(3\cdot\dfrac{\pi H}{4}D^2 \approx 0{,}424\ \text{м}^3\), поэтому под водой находится \[\alpha = \frac{V_{вытесн}}{3\cdot\frac{\pi H}{4}D^2} \approx 0{,}42,\] то есть \(42\,\%\) объёма.

Замена бревна с полостью на сплошное бревно того же размера добавляет в бревно древесину в объёме полости \(\dfrac{\pi H}{4}d^2\). Чёлн остаётся на плаву, поэтому изменение силы Архимеда равно изменению силы тяжести: \[\Delta F_A = \Delta F_т = \frac{\pi H}{4}\,d^2\,\rho_д\,g = 209\ \text{Н}.\]