Планеты: год на Нептуне и противостояния

Для круговых орбит периоды связаны с радиусами третьим законом Кеплера. Наибольшее расстояние между планетами достигается, когда они лежат на одной прямой с Солнцем по разные стороны от него; рассмотрите, за какое время Земля обгонит Нептун на один оборот относительно него.

1) Пусть \(M_\text{с}\) — масса Солнца, \(m\) — масса планеты. Тогда \(m\omega^2 r = \gamma\dfrac{M_\text{с} m}{r^2}\), \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\), и \(\dfrac{r^3}{T^2} = \text{const}\). Значит, \[T_\text{Н} = T_\text{З}\sqrt{\left(\frac{r_\text{Н}}{r_\text{З}}\right)^3} = 365\cdot\sqrt{30^3} \approx 59976~\text{сут} \approx 164~\text{года}.\]

2) \(\left(\dfrac{2\pi}{T_\text{З}} - \dfrac{2\pi}{T_\text{Н}}\right)\tau = 2\pi\), откуда \[\tau = \frac{T_\text{Н}T_\text{З}}{T_\text{Н} - T_\text{З}} \approx 367~\text{сут}.\]