Проводящая жидкость между пластинами

Слой жидкости между пластинами — источник с ЭДС \(VBd\) и внутренним сопротивлением \(r\). Мощность на нагрузке максимальна при определённом соотношении \(R\) и \(r\).

\(d=\dfrac{2\sqrt{P_mR}}{VB}=40\) см.

В силу физической постановки задачи при возникновении движения проводящей жидкости в магнитном поле из-за действия силы Лоренца на заряды проводящей жидкости между пластинами возникает разность потенциалов \(U=VBd\). Если далее замкнуть цепь на внешнее сопротивление \(R\), то по замкнутой цепи будет протекать электрический ток \(I\). При прохождении тока через внешнее сопротивление \(R\) на нём будет выделяться мощность \(P\). При прохождении тока между пластинами через жидкую среду в ней также будет выделяться мощность, равная \(I^2r\), где \(r\) — сопротивление среды между пластинами. Сопротивление проводящей среды \(r\) при заданных геометрических размерах пластин является фиксированным и определяется внутренними свойствами материала; в частности, для проводящих сред существуют таблицы экспериментально измеренных удельных сопротивлений. Таким образом, в силу физических свойств сопротивление проводящей среды между пластинами не может изменяться и имеет некоторое фиксированное значение. Внешнее сопротивление \(R\) можно легко изменять, например, используя проволочный реостат.

Согласно закону сохранения энергии, мощность \(P\), выделяемая током на внешнем сопротивлении, равна мощности ЭДС за вычетом мощности, выделяемой на внутреннем сопротивлении, то есть \(P=IU-I^2r\).

Зависимость мощности от тока представляет собой перевёрнутую параболу. Мощность \(P\) будет равна нулю при двух значениях тока: \(I_1=0\) и \(I_2=\dfrac{U}{r}\). Так как в силу параболической зависимости вершина параболы находится посередине этих значений, то максимум мощности достигается при \(I_m=\dfrac{U}{2r}\), и соответственно максимум мощности, выделяемой током на внешнем сопротивлении, будет равен \(P_m=\dfrac{U^2}{4r}\).

С другой стороны, мощность, выделяемую на внешнем сопротивлении, можно записать иначе: \(P=I^2R=\dfrac{U^2}{(R+r)^2}\,R\). Сравнивая последние два выражения, находим, что максимальная мощность будет выделяться, если \(R=r\). Следовательно, \(P_m=\dfrac{V^2B^2d^2}{4R}\), а потому искомое расстояние \[d=\frac{2\sqrt{P_mR}}{VB}=40\text{ см}.\]

Замечание. Максимальное значение мощности можно определить иначе. Выделяющаяся на резисторе мощность равна \(P=I^2R\). По условию эта мощность должна быть максимальной, а потому должно выполняться уравнение \[\frac{dP(R)}{dR}=U^2\left[\frac{(R+r)^2-2R(R+r)}{(R+r)^4}\right]=0.\] Следовательно, \(P_m=\dfrac{V^2B^2d^2}{4R}\), а потому искомое расстояние \(d=\dfrac{2\sqrt{P_mR}}{VB}=40\) см.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.