Колебания диэлектрической пластины в конденсаторе

Заряд конденсатора постоянен. Найдите изменение энергии при выдвигании пластины на \(x\): оно пропорционально \(x\), значит, сила постоянна, и время возвращения пластины — четверть периода.

\(T=8\,\dfrac{\varepsilon}{U_0}\sqrt{\dfrac{dmx}{\varepsilon_0l(\varepsilon-1)}}\approx4{,}35\) с.

При выдвигании диэлектрической пластины из конденсатора изменяется его ёмкость. Используя формулу для ёмкости плоского конденсатора, находим, что \[C(x)=\frac{\varepsilon_0l|x|}{d}+\frac{\varepsilon\varepsilon_0l(l-|x|)}{d}=C_0\left(\varepsilon-(\varepsilon-1)\frac{|x|}{l}\right),\] где \(C_0=\dfrac{\varepsilon_0l^2}{d}\) — ёмкость пустого конденсатора. Поскольку конденсатор после зарядки отключен от источника, заряд на нём \(q=C_0U_0=\dfrac{\varepsilon_0l^2}{d}\,U_0\) будет оставаться постоянным. Изменение энергии конденсатора при выдвигании из него пластины равно \[\Delta W=\frac{q^2}{2C(x)}-\frac{q^2}{2\varepsilon C_0}=\frac{q^2d(\varepsilon-1)|x|}{2\varepsilon\varepsilon_0l^3\left(\varepsilon-(\varepsilon-1)\dfrac{|x|}{l}\right)}.\] Учитывая, что по условию \(|x|\ll l\), последнее равенство можно приближённо представить в виде \[\Delta W\approx\frac{q^2d(\varepsilon-1)|x|}{2\varepsilon^2\varepsilon_0l^3}.\] Видно, что при малых \(x\) изменение энергии конденсатора пропорционально смещению диэлектрической пластины. Поскольку изменение энергии равно работе по перемещению пластины, \(\Delta W=Fx\), сила \(F\), стремящаяся втянуть диэлектрик обратно в конденсатор, в рассматриваемых условиях является постоянной. Она вызывает постоянное по величине ускорение пластины \[a=\frac{F}{m}=\frac{q^2d(\varepsilon-1)}{2\varepsilon^2\varepsilon_0l^3m},\quad\text{или}\quad a=\frac{U_0^2\varepsilon_0l(\varepsilon-1)}{2\varepsilon^2dm}.\] Следовательно, время \(\tau\) движения пластины из смещённого положения в положение равновесия можно найти по формуле \(\tau=\sqrt{\dfrac{2x}{a}}\). Это время составляет четверть периода колебаний пластины. Отсюда \[T=8\,\frac{\varepsilon}{U_0}\sqrt{\frac{dmx}{\varepsilon_0l(\varepsilon-1)}}\approx4{,}35\text{ с}.\]

Замечание организаторов. «Подсказка» указывает на то, что нужно использовать приближение малых изменений, а то, что нужно учитывать именно первый порядок по \(x\), участник должен выяснить самостоятельно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.