Брусок и два фотоэлемента

Ускорение бруска вдоль склона по модулю равно \(g\sin\alpha\), но брусок мог сначала ехать вверх. Разберите случаи по направлению движения и проверьте, возможны ли они при заданных \(\tau_1\), \(\tau_2\).

При указанных в условии значениях описанное движение не реализуется; общий вид ответа для случаев, когда оно возможно, см. в решении.

Будем отсчитывать координату \(x\) от положения первого фотоэлемента и направим ось \(x\) так, что в момент времени \(t=0\), когда брусок начинает перекрывать первый фотоэлемент, его скорость равна \(V_1>0\). Ускорение бруска в проекции на эту ось \(a_x=\pm g\sin\alpha\equiv\pm a\), причём в итоге брусок «соскальзывает», то есть движется вниз — в направлении ускорения. Рассмотрим возможные варианты.

Вариант 1: \(a_x=+a\). Брусок всегда движется только вниз. Тогда его скорость в момент начала перекрывания второго фотоэлемента \(V_2=V_1+a\tau\). Поскольку \(b=V_1\tau_1+\dfrac{a\tau_1^2}{2}\) и \(b=V_2\tau_2+\dfrac{a\tau_2^2}{2}\), то \[a\tau=V_2-V_1=b\left(\frac1{\tau_2}-\frac1{\tau_1}\right)+\frac12\,a(\tau_1-\tau_2).\] Итак, в этом случае время равно \[\tau=\frac{V_2-V_1}{g\sin\alpha}=\frac12(\tau_1-\tau_2)+\frac{b}{g\sin\alpha}\left(\frac1{\tau_2}-\frac1{\tau_1}\right).\tag{1}\] Полученное решение справедливо не при всех численных значениях величин. При этом характере движения должны выполняться неравенства \[\tau_2\le\tau_1\le\tau_0\equiv\sqrt{\frac{2b}{g\sin\alpha}}=0{,}2\text{ с}.\tag{2}\] В частности, при \(\tau_1=2\) с и \(\tau_2=1\) с эти условия не выполняются, и поэтому описанное в условии движение не реализуется.

При других численных значениях, удовлетворяющих неравенствам (2), например при \(\tau_1=0{,}2\) с и \(\tau_2=0{,}1\) с, решение имеет место в соответствии с общей формулой (1): \[\tau=\frac12(\tau_1-\tau_2)+\frac{b}{g\sin\alpha}\left(\frac1{\tau_2}-\frac1{\tau_1}\right)=0{,}15\text{ с}.\]

Вариант 2: \(a_x=-a\). Брусок запускается вверх по склону, через некоторое время останавливается и только потом начинает соскальзывать. В этом случае может быть несколько ситуаций в зависимости от положения точки остановки по отношению ко второму фотоэлементу.

Вариант 2а: брусок до остановки проезжает оба фотоэлемента. Этот случай отличается от варианта 1 только знаком ускорения, то есть \[\tau=\frac12(\tau_1-\tau_2)+\frac{b}{g\sin\alpha}\left(\frac1{\tau_1}-\frac1{\tau_2}\right),\tag{1'}\] причём теперь точку расположения второго фотоэлемента брусок проходит медленнее, чем первого, но всё равно должен проехать её целиком, то есть условия реализуемости движения — это \[\tau_1\le\tau_2\le\tau_0\equiv\sqrt{\frac{2b}{g\sin\alpha}}.\tag{2'}\]

Вариант 2б: брусок проезжает первый фотоэлемент и останавливается над вторым. Теперь время перекрытия второго — это время возвращения в положение начала перекрытия, то есть \[V_2\tau_2-\frac{a\tau_2^2}{2}=0,\qquad V_1-a\tau=a\,\frac{\tau_2}{2}.\] С учётом выражения для \(V_1=\dfrac{b}{\tau_1}+\dfrac{a\tau_1}{2}\) найдём \[\tau=\frac12(\tau_1-\tau_2)+\frac{b}{g\sin\alpha\,\tau_1},\tag{1''}\] а условия реализуемости движения — это \[\tau_1\le\tau_0,\quad \tau_2\le2\tau_0.\tag{2''}\] Случай, когда брусок остановится на первом фотоэлементе, отвечает условиям задачи только тогда, когда второй расположен ниже первого (ведь после остановки брусок соскальзывает вниз). В этом случае время перекрытия первого фотоэлемента становится временем возвращения в начальное положение, и \(V_1=\dfrac{a\tau_1}{2}\), а из этого положения брусок едет уже вниз, разгоняясь: \[V_2=V_1+a(\tau-\tau_1)=a\left(\tau-\frac{\tau_1}{2}\right),\] и из соотношения \(b=V_2\tau_2+\dfrac{a\tau_2^2}{2}\) находим, что справедлива формула \[\tau=\frac12(\tau_1-\tau_2)+\frac{b}{g\sin\alpha\,\tau_2},\tag{1'''}\] и этот случай реализуется при \[\tau_2\le\tau_0,\quad \tau_1\le2\tau_0.\tag{2'''}\]

Итак, описанное в условии движение реализуемо только при выполнении условий на данные задачи, причём аналитический ответ в этих случаях имеет вид \[\tau=\begin{cases} \dfrac12(\tau_1-\tau_2)+\dfrac{b}{g\sin\alpha}\left(\dfrac1{\tau_2}-\dfrac1{\tau_1}\right), & \text{если } \tau_2\le\tau_1\le\tau_0\equiv\sqrt{\dfrac{2b}{g\sin\alpha}}=0{,}2\text{ с},\\[3mm] \dfrac12(\tau_1-\tau_2)+\dfrac{b}{g\sin\alpha}\left(\dfrac1{\tau_1}-\dfrac1{\tau_2}\right), & \text{если } \tau_1\le\tau_2\le\tau_0,\\[3mm] \dfrac12(\tau_1-\tau_2)+\dfrac{b}{g\sin\alpha\,\tau_1}, & \text{если } \tau_1\le\tau_0,\ \tau_2\le2\tau_0,\\[3mm] \dfrac12(\tau_1-\tau_2)+\dfrac{b}{g\sin\alpha\,\tau_2}, & \text{если } \tau_2\le\tau_0,\ \tau_1\le2\tau_0. \end{cases}\] При указанных в условии задачи численных значениях величин эти движения не реализуемы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.