Молекулярка

Если \(p/n = kT\) постоянно, то участок — изотерма; а там, где \(p \propto V\), температура монотонна, так что экстремальные температуры достигаются в вершинах. Найдите теплоёмкость газа в процессе \(p \propto V\) и выразите КПД через отношение объёмов на изотермах.

На участках \(1-2\) и \(3-4\) давление и объём прямо пропорциональны друг другу, поэтому вдоль этих участков они одновременно увеличиваются или уменьшаются. Следовательно, температура монотонно изменяется и достигает минимального и максимального значения на концах этих участков. Участки цикла (\(2-3\) и \(4-1\)) являются изотермами, так как \(p = nkT\), поэтому \(p/n = \text{const}\) только при \(T = \text{const}\). Так как точка \(2\) имеет наибольшую ординату, то участок \(2-3\) является изотермой с наибольшей температурой, а \(4-1\) — с наименьшей. Обозначим эти температуры \(T_{\max}\) и \(T_{\min}\) соответственно. По условию мы знаем КПД цикла Карно, построенного между этими температурами: \[\eta_K = 0{,}5 = \frac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\max}}.\] Получим соотношение между максимальной и минимальной температурами: \(T_{\max} = 2T_{\min}\). Точка \((1{,}1)\) лежит на участке \(4-1\), поэтому \[p_0 = \frac{N_0}{V_0}\,kT_{\min}.\] Выражая температуру, получаем: \[T_{\min} = \frac{p_0V_0}{N_0k} = \frac{p_0}{n_0k}; \qquad T_{\max} = \frac{2p_0}{n_0k}.\] Найдём коэффициент наклона графика зависимости \(p/p_0\) от \(n/n_0\) для изотермы с температурой \(T\): \[p = nkT, \qquad \frac{p}{p_0} = \frac{n_0kT}{p_0}\cdot\frac{n}{n_0}.\] Коэффициент наклона является тангенсом соответствующего угла: \[\tan\beta = \frac{n_0kT}{p_0}.\] Подставим найденные ранее температуры и получим ответ. Для \(4-1\): \(\tan\beta_{4-1} = 1\), или \(\beta_{4-1} = 45^\circ\). Для \(2-3\): \(\tan\beta_{2-3} = 2\), или \(\beta_{2-3} = \arctan 2 = 63{,}4^\circ\).

Заметим, что на \(4-1\) из найденного ранее значения температуры получаем \(T/T_0 = 1\), аналогично на \(2-3\) имеем \(T/T_0 = 2\). Соответственно точка \((1{,}1)\) принадлежит участку \(4-1\) и в такой системе координат. Теперь проанализируем вид участков \(1-2\) и \(3-4\). На них давление и объём пропорциональны: \[\frac{p}{p_0} \propto \frac{V}{V_0} = \frac{n_0}{n},\] так как \(nV = n_0V_0 = N_0\). Тогда \[n = \frac{p}{kT} \propto \frac{V}{T} \propto \frac{1}{nT}, \qquad n^2 \propto \frac{1}{T}.\] Таким образом, на этих участках имеем \[\frac{n}{n_0} \propto \sqrt{\frac{T_0}{T}}.\] Построим качественно график.

Для удобства нарисуем наш цикл в координатах \(p/p_0 - V/V_0\).

Заметим, что \(1-2\) и \(3-4\) удовлетворяют уравнению \(pV^{-1} = \text{const}\), то есть это политропы. Найдём теплоёмкость в таком процессе. \[\delta Q = dU + \delta A = \nu C_V\,dT + p\,dV,\] \[p \propto V \Rightarrow \frac{dp}{p} = \frac{dV}{V},\] \[pV = \nu RT \Rightarrow \frac{dT}{T} = \frac{dp}{p} + \frac{dV}{V} = 2\frac{dV}{V} \Rightarrow \frac{dV}{V} = \frac{dT}{2T},\] \[p\,dV = \frac{pV\,dT}{2T} = \frac{\nu RT\,dT}{2T} = \frac{\nu R}{2}\,dT,\] \[\delta Q = \nu C_V\,dT + \frac{\nu R}{2}\,dT = \nu\left(C_V + \frac{R}{2}\right)dT.\] Учитывая, что газ двухатомный, получаем, что в этих процессах его теплоёмкость \(C = 3\nu R\). Таким образом, можем найти теплоту в процессах \(1-2\) и \(3-4\): \[Q_{1-2} = -Q_{3-4} = C(2T_0 - T_0) = 3\nu RT_0.\] Обозначим угол между \(3-4\) и осью абсцисс \(\delta\). Найдём значения объёма газа в вершинах цикла. Точка \(4\): \[\frac{p_4}{p_0}\cdot\frac{V_4}{V_0} = \left(\frac{V_4}{V_0}\right)^2\tan\delta = \frac{T_4}{T_0} = 1, \qquad \frac{V_4}{V_0} = \sqrt{\frac{1}{\tan\delta}}.\] Аналогично получим остальные значения: \[\frac{V_3}{V_0} = \sqrt{\frac{2}{\tan\delta}}, \quad \frac{V_1}{V_0} = \sqrt{\frac{1}{\tan(\delta+\alpha)}}, \quad \frac{V_2}{V_0} = \sqrt{\frac{2}{\tan(\delta+\alpha)}}.\] Найдём теплоты на участках \(4-1\) и \(2-3\). Так как это изотермы, то они равны соответствующим работам: \[Q_{2-3} = \int_{V_2}^{V_3} p\,dV = 2\nu RT_0\int_{V_2}^{V_3}\frac{dV}{V} = 2\nu RT_0\ln\frac{V_3}{V_2},\] \[Q_{2-3} = 2\nu RT_0\ln\left(\sqrt{\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}}\right) = \nu RT_0\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right).\] Аналогично для участка \(4-1\): \[Q_{4-1} = -\frac{\nu RT_0}{2}\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right).\] Заметим, что работа в цикле \(A = Q_{1-2} + Q_{2-3} + Q_{3-4} + Q_{4-1}\). При этом тепло подводится только на участках \(1-2\) и \(2-3\), поэтому \(Q_+ = Q_{1-2} + Q_{2-3}\). Таким образом, КПД цикла: \[\eta = \frac{\frac{\nu RT_0}{2}\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)} {\nu RT_0\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right) + 3\nu RT_0} = \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)}\right)}.\] Найдём, как \(\dfrac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\) зависит от \(\delta\). \[\frac{d}{d\delta}\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right) = \frac{\frac{\tan\delta}{\cos^2(\delta+\alpha)} - \frac{\tan(\delta+\alpha)}{\cos^2\delta}}{\tan^2\delta} = \frac{\sin\delta\cos\delta - \sin(\delta+\alpha)\cos(\delta+\alpha)} {\sin^2\delta\cos^2(\delta+\alpha)}.\] Заметим, что производная обращается в \(0\) при \[\sin\delta\cos\delta - \sin(\delta+\alpha)\cos(\delta+\alpha) = 0,\] \[\sin 2\delta = \sin 2(\delta+\alpha), \qquad 2\delta = \pi - 2(\delta+\alpha), \qquad \delta = \frac{\pi}{2} - (\delta+\alpha), \qquad \delta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}.\] Заметим, что это соответствует ситуации, когда \(1-2\) и \(3-4\) симметричны относительно прямой \(p/p_0 = V/V_0\). Таким образом, исследуемая функция уменьшается от бесконечности при \(\delta = 0\) до минимального значения в этот момент, а потом возрастает к бесконечности при \(\alpha + \delta = \pi/2\). С точки зрения КПД это означает, что в симметричном случае \(\delta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\) он минимален, а максимален или при максимальном значении, или при минимальном значении \(\delta\). Найдём ограничения на \(\delta\). Из физических соображений понятно, что \(\delta > 0\) и \(\alpha + \delta < \pi/2\). Также из условия следует, что точка \((1{,}1)\) лежит между прямыми, содержащими \(1-2\) и \(3-4\), поэтому \(\alpha + \delta > \pi/4\) и \(\delta < \pi/4\). Суммарно получаем: \[\max\left(0, \frac{\pi}{4} - \alpha\right) \leqslant \delta \leqslant \min\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} - \alpha\right).\] Заметим, что в любом случае симметричный случай реализуется, поэтому минимум КПД при \(\delta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\): \[\eta \geqslant \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}\right)}\right)}.\] Максимум КПД зависит от граничных значений \(\delta\). Если \(\alpha \geqslant \pi/4\), то отношение тангенсов может быть сколь угодно большим и соответственно ограничение на КПД: \(\eta < 1/2\).

В ином случае граничные значения \(\delta\), равные \(\pi/4 - \alpha\) и \(\pi/4\), дают одинаковый КПД, так как \(\tan(\alpha + \pi/4) = 1/\tan(\pi/4 - \alpha)\), и ограничение на КПД: \[\eta \leqslant \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)}.\]

При \(\alpha \geqslant \pi/4\): \[\frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)} \leqslant \eta < \frac{1}{2}.\] При \(\alpha < \pi/4\): \[\frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)} \leqslant \eta \leqslant \frac{1}{2\left(1 + \frac{3}{\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\right)}\right)}.\] В пункте 4 \(\alpha > \pi/4\). Подставим значение угла в соответствующие формулы: \[0{,}234 \leqslant \eta < 0{,}5.\] В пункте 5 \(\alpha < \pi/4\). Подставим значение угла в соответствующие формулы: \[0{,}134 \leqslant \eta \leqslant 0{,}153.\]