Задачи › Равноускоренное движение

Импульсное ускорение

  1. Импульсное ускорение

    ВсОШ 2024/25, 9 кл.
    5/10

    Частица двигалась в плоскости \(Oxy\) в положительном направлении оси \(x\) с постоянной скоростью, параллельной оси \(x\). В момент времени \(t = 0\) на неё начала действовать переменная сила, которая лежит в плоскости \(Oxy\). Действие этой силы привело к возникновению ускорения, которое периодически изменяло своё направление. Модуль ускорения при \(t = 0\) был равен \(a\) и через каждый промежуток времени \(2\tau\) уменьшался в 2 раза. На рисунке представлены графики зависимости проекций ускорения частицы от времени за некоторый начальный интервал времени.

    Рисунок

    Считая известными \(a\) и \(\tau\), определите максимальную и минимальную (по модулю) скорости частицы, которая двигалась под действием этой силы в течение долгого времени. При этом скорость частицы отклонялась от первоначального направления движения на максимальный угол \(\alpha\).

    Примечание: сумма бесконечной геометрической прогрессии \(b + bq + bq^2 + bq^3 + \ldots = \sum\limits_{i=0}^{\infty} bq^i = \dfrac{b}{1-q}\), где \(|q| < 1\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Нарисуйте векторную диаграмму: за каждый интервал \(\tau\) к скорости добавляется отрезок \(a\tau\), \(a\tau/2\), … попеременно вдоль \(y\) и вдоль \(x\). Скорость только растёт, а наибольший угол отклонения достигается либо после первого «шага», либо в пределе — это зависит от \(v_0\).

    Ответ

    Если \(v_0 \leqslant 2a\tau\): \(v_{\min} = a\tau\operatorname{ctg}\alpha\), \(v_{\max} = a\tau\sqrt{\operatorname{ctg}^2\alpha + 4\operatorname{ctg}\alpha + 8}\); если \(v_0 \geqslant 2a\tau\): \(v_{\min} = 2a\tau(\operatorname{ctg}\alpha - 1)\), \(v_{\max} = \dfrac{2a\tau}{\sin\alpha}\).

    Решение

    Изобразим с помощью векторной диаграммы как изменялась скорость частицы.

    Рисунок

    Можно заметить, что скорость частицы монотонно возрастала со временем, значит минимальная по модулю скорость была в начале, а максимальная в конце движения (при очень большом времени). Перегруппируем векторы приращения скоростей.

    Рисунок

    Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, получим, что изменение проекции скорости на ось \(x\) за длительное время (бесконечное количество циклов) будет \(2a\tau\). Аналогично изменится и \(y\) компонента скорости. Значит, максимальная скорость в процессе движения: \[v_\infty = \sqrt{(v_0 + 2a\tau)^2 + (2a\tau)^2}.\] Выразим начальную скорость через \(a\tau\). Угол отклонения вектора скорости через время \(\tau\) после начала движения: \(\operatorname{tg}\alpha_1 = (a\tau)/v_0\). Через большое время после начала движения — \(\operatorname{tg}\alpha_\infty = (2a\tau)/(v_0 + 2a\tau)\). Тогда возможны два варианта:

    1) если начальная скорость мала, тогда максимальное отклонение вектора скорости будет через \(\tau\) после начала движения: \[\operatorname{tg}\alpha_1 \geqslant \operatorname{tg}\alpha_\infty \;\Rightarrow\; \alpha_1 = \alpha.\]

    Рисунок

    Рассматриваемый случай реализуется при \(v_0 \leqslant 2a\tau\). Тогда: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{a\tau}{v_0} \;\Rightarrow\; v_{\min} = v_0 = a\tau\cdot\operatorname{ctg}\alpha;\] \[v_{\max} = v_\infty = \sqrt{(a\tau\cdot\operatorname{ctg}\alpha + 2a\tau)^2 + (2a\tau)^2} = a\tau\sqrt{\operatorname{ctg}^2\alpha + 4\operatorname{ctg}\alpha + 8}.\]

    2) Если \(v_0 \geqslant 2a\tau\), то максимальное отклонение вектора скорости будет в предельной ситуации (\(\alpha_\infty = \alpha\)).

    Рисунок

    \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{2a\tau}{v_0 + 2a\tau} \;\Rightarrow\; v_{\min} = v_0 = 2a\tau\cdot(\operatorname{ctg}\alpha - 1);\] \[v_{\max} = v_\infty = \frac{2a\tau}{\sin\alpha}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх