Падающий стержень с двумя телами на нити

Нить очень длинная, поэтому горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. Какие точки стержня движутся в противоположные стороны и во сколько раз быстрее друг друга? Закон сохранения энергии даёт связь со скоростью.

Поскольку нить очень длинная, при движении стержня она отклоняется только на очень малые углы от вертикали. На систему «стержень–тела» действуют только вертикальные внешние силы — сила тяжести и сила натяжения нити. Поэтому проекция импульса системы на горизонтальное направление равна нулю в любой момент времени. Значит, скорости точек \(A\) и \(B\) в тот момент, когда стержень проходит низшее положение, равны по величине и направлены противоположно: скорость точки \(A\) направлена вправо, точки \(B\) — влево. Движение стержня — вращение вокруг его центра масс (точки посередине между \(A\) и \(B\)), а расстояние от \(C\) до центра масс вдвое больше расстояния от \(B\) до центра масс, поэтому скорость \(C\) вдвое больше скорости \(B\): \[v_A = v_B = v, \qquad v_C = 2v.\] Для нахождения \(v\) используем закон сохранения энергии. Тело в \(A\) опустилось на \(l\), тело в \(B\) — на \(l/3\): \[\dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2} = mg\dfrac{l}{3} + mgl,\] откуда \[v_A = v_B = \sqrt{\dfrac{4gl}{3}}, \qquad v_C = 2\sqrt{\dfrac{4gl}{3}}.\]