Катящееся кольцо с разрезом в магнитном поле

Дополните кольцо до целого проводником той же длины: напряжение на целом кольце равно нулю. Скорость точки кольца в неподвижной системе — векторная сумма скорости центра и скорости вращения по касательной к кольцу.

Если бы кольцо было целым, напряжение между любыми его точками равнялось бы нулю. Поэтому, если дополнить кольцо до целого, напряжения на малом промежутке \(AB\) и на большом (то есть на нашем разрезанном кольце) одинаковы по величине и противоположны по знаку. Рассмотрим движение малого проводника длиной \(\Delta l\), дополняющего кольцо до целого, в перпендикулярном магнитном поле. Для напряжения на проводнике длиной \(\Delta l\), движущемся со скоростью \(\vec v_{\Delta l}\) в перпендикулярном магнитном поле, имеем \[U = B\,v_{\Delta l}\,\Delta l\cos\varphi,\] где \(\varphi\) — угол между скоростью и перпендикуляром к проводнику.

Скорости точек катящегося без проскальзывания кольца можно найти как векторную сумму вектора \(\vec v\) скорости центра кольца и вектора с модулем \(v\), направленным по касательной к кольцу. Треугольник сложения скоростей равнобедренный, с углом при вершине \(\alpha\), поэтому \[v_{\Delta l} = 2v\sin\dfrac{\alpha}{2}, \qquad \varphi = \dfrac{\alpha}{2}.\]

Отсюда \[U = Bv\cdot 2\Delta l\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} = Bv\,\Delta l\sin\alpha.\] Для прямого проводника, движущегося со скоростью \(\vec v_{\Delta l}\), сила Лоренца, действующая на положительные заряды, направлена к \(A\), а на отрицательные — к \(B\) (поле направлено за чертёж). Поэтому конец проводника \(A\) заряжен положительно, \(B\) — отрицательно. Для промежутка кольца ситуация обратная.

Ответ: напряжение на промежутке кольца \(AB\) равно \(U = Bv\,\Delta l\sin\alpha\); точка \(A\) заряжена отрицательно, точка \(B\) — положительно.