Стержень на движущейся полусфере

Выразите расстояние от центра полушара до шарнира через угол наклона стержня: треугольник «центр полушара – точка касания – шарнир» прямоугольный. Дальше — производная по времени и разложение ускорения на нормальную и тангенциальную составляющие.

Пусть расстояние от центра полушара до шарнира в некоторый момент, условно взятый за начальный, равно \(l_0\), а после этого прошло время \(t\). Тогда расстояние от центра полушара до шарнира равно \(l_0 - vt\). Треугольник \(OBA\) в любой момент прямоугольный, поэтому для синуса угла наклона стержня к поверхности \[\sin\alpha = \dfrac{R}{l_0 - vt}.\] Дифференцируя по времени, получим \[\cos\alpha\,\dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{Rv}{(l_0-vt)^2} = \dfrac{v}{R}\sin^2\alpha,\] откуда угловая скорость стержня \[\omega = \dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{v\sin^2\alpha}{R\cos\alpha},\] а линейная скорость конца стержня \[v_1 = \omega l = \dfrac{vl\sin^2\alpha}{R\cos\alpha}.\] Нормальное ускорение конца стержня \[a_n = \omega^2 l = \dfrac{v^2 l\sin^4\alpha}{R^2\cos^2\alpha}.\] Тангенциальное ускорение найдём, дифференцируя модуль скорости: \[a_\tau = \dfrac{dv_1}{dt} = \dfrac{vl}{R}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right) = \dfrac{vl\sin\alpha}{R\cos^2\alpha}\left(1+\cos^2\alpha\right)\dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{v^2 l\sin^3\alpha}{R^2\cos^3\alpha}\left(1+\cos^2\alpha\right).\] Полное ускорение \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \dfrac{v^2 l\sin^3\alpha}{R^2\cos^3\alpha}\sqrt{\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \left(1+\cos^2\alpha\right)^2}.\] Для \(\alpha = 45^\circ\) имеем \(a = \sqrt{\dfrac{5}{2}}\,\dfrac{v^2 l}{R^2}\).

Официальное решение приводит и второй способ — без дифференцирования, через малый поворот стержня за время \(\Delta t\) в системе отсчёта полушара; результат тот же: \(\omega = \dfrac{v\sin^2\alpha}{R\cos\alpha}\).