Два тела на нити после толчка
7/10Два одинаковых точечных тела покоятся на горизонтальной поверхности на расстоянии \(l\) друг от друга. Тела связаны невесомой гибкой нерастяжимой нитью длиной \(2l\). В некоторый момент времени телам сообщили одинаковые по величине, но противоположно направленные скорости \(v\). Эти скорости направлены перпендикулярно отрезку между телами (см. рисунок; вид сверху). Найти траекторию тел и её геометрические параметры, а также времена прохождения её основных участков. Трения и каких-либо неупругих процессов нет.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаПока нить не натянута, тела движутся равномерно и прямолинейно. Найдите угол между скоростью тела и нитью в момент натяжения: при каком угле это происходит? Что меняется при натяжении нити, а что нет?
ОтветКаждое тело движется по сторонам равностороннего треугольника со стороной \(a = \sqrt3\,l\) (см. рисунок в решении). Длина траектории каждого тела \(3a = 3\sqrt3\,l\), время прохождения всей траектории \(t = \dfrac{3\sqrt3\,l}{v}\).
РешениеПока тела не натянут нить, они движутся прямолинейно и равномерно. Нить натянется, когда углы между скоростями тел и соединяющей их прямой станут равны \(30^\circ\). Действительно, в момент натягивания нити в треугольнике, образованном начальным положением тела, его положением в момент натягивания нити и центром масс тел \(O\) (который не должен двигаться, поскольку суммарный импульс системы равен нулю), угол равен \(30^\circ\).
В момент натягивания нити кратковременно возникает сила натяжения, которая меняет составляющие скоростей тел, направленные вдоль нити, но не меняет перпендикулярные составляющие. Для составляющих, параллельных нити, выполняются законы сохранения импульса и энергии (вдоль нити). Решая их, получаем два набора корней. Первый отвечает отсутствию взаимодействия, поэтому подходит второй: после натягивания нити составляющие скоростей тел, параллельные нити, меняют знак, то есть тела начинают двигаться навстречу друг другу. Перпендикулярные нити составляющие скоростей не меняются, поэтому тела будут двигаться под углом \(30^\circ\) к натянутой нити, но с другой стороны от неё. Далее нить провисает, и тела движутся свободно до нового натягивания.
При каждом натягивании нити тела обмениваются составляющими скоростей вдоль нити, а перпендикулярные составляющие сохраняются. В результате каждое тело движется по сторонам равностороннего треугольника с постоянной по модулю скоростью, а скорости меняются только в точках натягивания нити. Последовательные положения тел образуют два пересекающихся равносторонних треугольника (шестиконечная звезда), см. рисунок.
Геометрически очевидно, что каждая сторона треугольника равна \[a = 2l\cos30^\circ = \sqrt3\,l.\] Поэтому длина траектории каждого тела равна \(3a = 3\sqrt3\,l\), и тела проходят всю траекторию за время \[t = \dfrac{3\sqrt3\,l}{v}.\]
Похожие задачи
- Скользкий пол СПбГУ 2011/12, 9 кл.
- Два шарика на стержне после освобождения МОШ 2012/13, 10 кл.
- Доска падает на гладком льду Курчатов 2013/14, 9 кл.
- Доска падает на гладком льду Курчатов 2013/14, 10 кл.
- Колесо и две шайбы на нити «Покори Воробьёвы горы!» 2014/15, 10-11 кл.
- Куб с блоками и грузами Ведомственная 2014/15, 9 кл.