Оловянный брусок на весах

Площадь основания бруска равна \(S_1 = \dfrac{M}{\rho_{\text{о}}H} \approx 13{,}9\) см\(^2\). Масса вытесненной бруском воды (в положении равновесия) равна \(\rho_{\text{в}}hS_1 \approx 27{,}8\) г. При равновесии весов соблюдается условие: \[Mg - \rho_{\text{в}}ghS_1 = mg,\qquad(1)\] где \(m\) — масса противовеса. Далее возможны два случая.

1) Если к противовесу добавить массу \(\Delta m = 80\) г, то равновесие нарушится, брусок поднимется и выйдет из воды, так как \(\Delta m > \rho_{\text{в}}hS_1\). До нарушения равновесия объём воды, находившейся выше нижнего основания бруска, составлял \((S - S_1)h\). Эта часть воды после того, как брусок поднимется, растечётся по объёму с площадью \(S\) и высотой \(\Delta l_1\), то есть \((S - S_1)h = S\Delta l_1\). Отсюда \(\Delta l_1 = h - \dfrac{S_1}{S}h\). Таким образом, если массу противовеса увеличить на \(\Delta m\), то уровень воды в стакане опустится на величину \[\Delta l = h - \Delta l_1 = \dfrac{S_1}{S}h = \dfrac{Mh}{\rho_{\text{о}}HS} \approx 1{,}11\text{ см}.\] 2) Если от противовеса отнять массу \(\Delta m\), то брусок опустится, и новое положение равновесия будет достигнуто при глубине погружения бруска, равной \(h + \Delta h\). При этом условие равновесия имеет вид: \[Mg - \rho_{\text{в}}g(h + \Delta h)S_1 = (m - \Delta m)g.\qquad(2)\] Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получаем: \(\rho_{\text{в}}\Delta hS_1 = \Delta m\), откуда \(\Delta h = \dfrac{\Delta m}{\rho_{\text{в}}S_1} \approx 5{,}76\) см. Таким образом, \(h + \Delta h \approx 7{,}76\text{ см} < H = 10\) см, то есть брусок не утонет. Отношение изменения уровня воды \(\Delta l\) и глубины погружения бруска \(\Delta h\) равно, как нетрудно видеть, отношению площадей бруска \(S_1\) и сосуда \(S\). Поэтому, если массу противовеса уменьшить на \(\Delta m\), то уровень воды в стакане поднимется на \[\Delta l = \dfrac{S_1}{S}\Delta h = \dfrac{\Delta m}{\rho_{\text{в}}S} = 3{,}2\text{ см}.\]