Задачи › Сопротивление среды

Воздушный шарик

  1. Воздушный шарик

    ВсОШ 2011/12, 10 кл.
    6/10

    Известно, что при скоростях движения шарика, превышающих \(\sim 10\) см/с, сила сопротивления воздуха определяется формулой \[F_\text{с} = \beta S^m v^n \rho^p,\] где \(\beta\) — безразмерный коэффициент, \(S\) — площадь максимального поперечного сечения шарика (рис. 2), \(v\) — скорость его движения, \(\rho\) — плотность воздуха, \(m\), \(n\), \(p\) — некоторые числа.

    Рисунок

    1. Определите (теоретически) показатели степени \(m\), \(n\) и \(p\) в формуле для силы сопротивления.

    2. Опишите эксперимент, позволяющий с помощью имеющегося оборудования определить зависимость силы сопротивления воздуха от скорости движения шарика. Проведите этот эксперимент.

    3. По результатам измерений определите значение коэффициента \(\beta\).

    Примечание: плотность воздуха \(\rho = 1{,}3\ \text{кг/м}^3\). Считайте, что скорость шарика устанавливается на пути порядка размера шарика.

    Оборудование: большой воздушный шарик с лёгкой ниткой, наполненный гелием, кусочек пластилина, 10 скрепок массой \(m = 0{,}41 \pm 0{,}01\) г каждая, секундомер, нить и ученическая линейка, миллиметровая бумага. Эксперимент проводится в помещении с известной высотой.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Подберите степени так, чтобы размерности левой и правой частей формулы совпадали. При равномерном подъёме шарика сила сопротивления уравновешивает разность выталкивающей силы и силы тяжести.

    Ответ

    1) \(m = 1\), \(n = 2\), \(p = 1\).

    Решение

    1. Применим метод размерностей к уравнению для силы сопротивления: \[[F_\text{с}] = \frac{\text{кг}^p \cdot \text{м}^{2m+n-3p}}{\text{с}^n} = \text{Н} = \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}.\] Откуда, решив систему уравнений, получим: \(m = 1\), \(n = 2\) и \(p = 1\).

    2. К шарику можно прикрепить скрепки и кусочек пластилина. При подъёме на него действует сила сопротивления \(F_\text{с}\), постоянная выталкивающая сила \(F_\text{А}\) и сила тяжести \(Mg\), где \(M\) — масса шарика и нагрузки. При установившемся равномерном движении шарика второй закон Ньютона для него запишется в виде: \[F_\text{А} = F_\text{с} + Mg.\] Нагружая шарик, добьёмся его равновесия, при этом \(F_\text{с} = 0\). Если теперь убрать \(n\) скрепок, то при установившемся движении \(F_\text{с} = nmg\). Убирая разное количество скрепок и замеряя время подъёма шарика (на участке с установившимся движением), получим зависимость силы сопротивления от скорости.

    3. Используя экспериментальные данные, полученные в предыдущем пункте, построим график \(F_\text{с}(v^2)\). Он должен получиться линейным. Коэффициент наклона прямой \(k = \beta S \rho\). Максимальную площадь поперечного сечения шарика найдём, измерив нитью периметр этого сечения \(l\). Предполагая, что сечение — окружность, получим \(S = l^2/(4\pi)\). Зная \(S\) и коэффициент \(k\), вычислим \(\beta\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх