Физтех, 2008/09, заключительный этап, 11 класс

Выберите систему координат с началом в точке бросания нижнего комка. Запишите координаты точки встречи для обоих комков и используйте известный модуль скорости \(v_1\).

\(v_1 = \dfrac{1}{t}\sqrt{(H - v_2 t)^2 + S^2} = 10\) м/с.

Поместим начало координат в точку бросания нижнего комка, направив ось \(x\) горизонтально направо, а ось \(y\) вертикально вверх. Пусть \(v_{1x}, v_{1y}\) — проекции на оси \(x\) и \(y\) скорости нижнего комка. Если точка столкновения имеет координаты \((S, y)\), то \[y = v_{1y}t - \frac{gt^2}{2}, \quad S = v_{1x}t, \quad y = H - v_2 t - \frac{gt^2}{2}, \quad v_{1x}^2 + v_{1y}^2 = v_1^2.\] Отсюда \(v_1 = \dfrac{1}{t}\sqrt{(H - v_2 t)^2 + S^2} = 10\) м/с.

Запишите условие плавания до долива и после него (вес бутылки равен архимедовой силе в предельном положении). Объём стекла считайте неизменным.

\(V_x = \dfrac{\rho_c}{4\rho_c - 3\rho}\,V = 250\) мл.

Пусть \(V_c\) и \(V_x\) — объёмы стекла и долитой воды, \(V\) — вместимость бутылки. Условия плавания до и после долива: \[\rho_c V_c g = \frac{3}{4}\rho(V_c + V)g, \qquad (\rho_c V_c + \rho V_x)g = \rho(V_c + V)g.\] Отсюда \(V_x = \dfrac{\rho_c}{4\rho_c - 3\rho}V = 250\) мл.

Найдите напряжение на параллельном участке по мощности и сопротивлению \(R_1\), затем токи через ветви и суммарный ток через последовательный резистор.

\(P_2 = 40\) Вт, \(P_3 = 45\) Вт.

Напряжение и ток для \(R_1\): \(U_1 = \sqrt{P_1R_1} = 40\) В, \(I_1 = \dfrac{U_1}{R_1} = 0{,}5\) А. Ток и мощность для \(R_2\): \(I_2 = \dfrac{U_1}{R_2} = 1\) А, \(P_2 = \dfrac{U_1^2}{R_2} = 40\) Вт. Ток и мощность для \(R_3\): \(I_3 = I_1 + I_2 = 1{,}5\) А, \(P_3 = I_3^2R_3 = 45\) Вт.

Сразу после замыкания ток через катушку равен нулю. Перед размыканием через катушку идёт разность токов источника и резистора. Энергия катушки при размыкании переходит в теплоту.

1) \(U_0 = \dfrac{3}{4}\mathcal{E}\);  2) \(Q = \dfrac{L\mathcal{E}^2}{162r^2}\).

1) Сразу после замыкания ключа ток через катушку не идёт, ток через резистор \(I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{R + r} = \dfrac{\mathcal{E}}{4r}\). Напряжение на катушке \(U_0 = I_0R = \dfrac{3}{4}\mathcal{E}\).

2) Обозначим \(U = \dfrac{2}{3}\mathcal{E}\). Непосредственно перед размыканием ключа ток через резистор \(I_R = \dfrac{U}{R} = \dfrac{2\mathcal{E}}{9r}\), ток через источник \(I_r = \dfrac{\mathcal{E} - U}{r} = \dfrac{\mathcal{E}}{3r}\), ток через катушку \(I = I_r - I_R = \dfrac{\mathcal{E}}{9r}\). Сразу после размыкания ключа ток через катушку останется прежним, в ней запасётся энергия, которая и выделится затем в цепи: \[Q = \frac{LI^2}{2} = \frac{L\mathcal{E}^2}{162r^2}.\]

Запишите уравнение состояния пара до сжатия и после него, учитывая, что пар после сжатия остаётся насыщенным при той же температуре.

\(\dfrac{6}{7}\).

Пусть \(V\) — начальный объём цилиндра, \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — числа молей пара в цилиндре до и после сжатия, \(P_н\) — давление насыщенного пара, \(T\) — температура. Уравнение состояния пара до и после сжатия: \[0{,}7P_н \cdot V = \nu_1RT, \qquad P_н \cdot \frac{V}{10} = \nu_2RT.\] Отсюда \(\dfrac{\nu_2}{\nu_1} = \dfrac{1}{7}\). Сконденсировалась часть пара \(x = \dfrac{\nu_1 - \nu_2}{\nu_1} = 1 - \dfrac{\nu_2}{\nu_1} = \dfrac{6}{7}\).

Сразу после замыкания напряжение на резисторе равно разности напряжений на конденсаторах. Для второго вопроса используйте сохранение суммарного заряда и закон Ома для резистора.

1) \(I_0 = \dfrac{2U_0}{R}\);  2) \(Q = CU_0^2\).

1) Начальный ток \(I_0 = \dfrac{3U_0 - U_0}{R} = \dfrac{2U_0}{R}\).

2) В момент размыкания ток \(I = \dfrac{I_0}{2} = \dfrac{U_0}{R}\). Пусть напряжения на конденсаторах в этот момент \(U_1\) и \(U_2\). Тогда \[U_2 - U_1 = IR, \qquad CU_1 + 2CU_2 = CU_0 + 2C \cdot 3U_0.\] Из последних трёх уравнений находим \(U_1 = \dfrac{5}{3}U_0\), \(U_2 = \dfrac{8}{3}U_0\). Начальная энергия конденсаторов \[W_1 = \frac{CU_0^2}{2} + \frac{2C(3U_0)^2}{2} = \frac{19}{2}CU_0^2,\] энергия в момент размыкания \[W_2 = \frac{CU_1^2}{2} + \frac{2CU_2^2}{2} = \frac{17}{2}CU_0^2.\] В цепи выделилось количество теплоты \(Q = W_1 - W_2 = CU_0^2\).

Изображение, полученное первой линзой, для второй линзы является мнимым предметом. Используйте формулу тонкой линзы с учётом знаков расстояний.

1) \(F = -10\) см;  2) \(\Gamma = 2\).

1) Изображение в первой линзе является мнимым источником для второй линзы. По формуле линзы \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}.\] Здесь \(a = -5\) см, \(b = 10\) см. Отсюда фокусное расстояние \(F = -10\) см, т.е. линза рассеивающая.

2) Отношение размеров нового и старого изображений равно увеличению второй линзы: \(\Gamma = \left|\dfrac{b}{a}\right| = 2\).