Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Кувшин, банка и кружки: неравенства
Школьница Алиса измеряет объёмы воды, помещающиеся в заполненный до краёв кувшин и в заполненную до краёв банку. Алиса обнаружила, что двух кувшинов с избытком хватает, чтобы заполнить банку, банки "— чтобы наполнить кувшин и кружку объёмом 500 мл, а банки и кувшина не хватает для наполнения девяти кружек объёмом 500 мл каждая.
Каким может быть минимальный объём кувшина при данных условиях? Ответ представьте в литрах и округлите до десятых.
Каким может быть максимальный объём кувшина при данных условиях? Ответ представьте в литрах и округлите до десятых.
Каким может быть минимальный объём банки при данных условиях? Ответ представьте в литрах и округлите до десятых.
Каким может быть максимальный объём банки при данных условиях? Ответ представьте в литрах и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите условия как систему неравенств для объёмов кувшина и банки и найдите границы области, которую они задают.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(0{,}5\) л; 2) \(2\) л; 3) \(1\) л; 4) \(3\) л.
Чтение книги по страницам
В первый день школьник Вася прочитал 60 страниц очень толстой книги. Книга постепенно надоедает Васе, и в каждый следующий день он читает на 5 страниц меньше, чем в предыдущий. Сколько дней продлится чтение книги? Сколько страниц всего прочитает Вася?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыпиши, сколько страниц Вася читает в первый, второй, третий дни, и найди, когда это число обратится в ноль.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветЧтение книги продлится 12 дней, Вася прочитает 390 страниц.
Кубик, шарик и гири
Школьница Алиса проводит опыты по измерению масс кубика и шарика при помощи равноплечих рычажных весов и гирь. Алиса обнаружила, что кубик вместе с гирей «100 г» весят больше шарика, шарик и кубик вместе весят больше гири «500 г», а гиря «500 г» весит больше гири «100 г» вместе с кубиком. В каких пределах может быть заключена масса кубика, с которым работает Алиса? А масса шарика?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите три условия как неравенства для масс кубика и шарика и отметьте на плоскости (масса кубика, масса шарика) область, где выполняются все три сразу.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветМасса шарика может лежать в промежутке от 100 г до 500 г, масса кубика — от 200 г до 400 г.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеОбозначим через \(K\) массу кубика в граммах, через \(Ш\) — массу шарика в граммах. Условие задачи можно записать в виде системы неравенств: \[K + 100 > Ш, \qquad K + Ш > 500, \qquad K + 100 < 500.\] Изобразим эти неравенства на графике в виде закрашенных областей, откладывая по одной оси массу кубика (в граммах), а по другой — массу шарика (в граммах).
Поскольку должны выполняться все три условия, возьмём пересечение этих областей:
Приходим к ответу.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Кубик, два шарика и гири
Школьница Алиса проводит опыты по измерению масс кубика и двух одинаковых шариков при помощи равноплечих рычажных весов и гирь. Алиса обнаружила, что два шарика вместе весят больше одного кубика, кубик — больше шарика и гири «100 г», а кубик, шарик и гиря «100 г» — меньше гири «1 кг». В каких пределах может быть заключена масса кубика, с которым работает Алиса? А масса шарика?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите условия как три неравенства для масс кубика и шарика, изобразите их область на плоскости и найдите крайние точки получившегося многоугольника.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветМасса шарика может лежать в промежутке от 100 г до 400 г, масса кубика — от 200 г до 600 г.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеОбозначим через \(K\) массу кубика в граммах, через \(Ш\) — массу шарика в граммах. Условие задачи можно записать в виде системы неравенств: \[2Ш > K, \qquad K > Ш + 100, \qquad K + Ш + 100 < 1000.\] Изобразим эту систему неравенств на графике в виде закрашенной области, откладывая по одной оси массу кубика (в граммах), а по другой — массу шарика (в граммах).
Приходим к ответу.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Весы: баклажан, кабачок, картофель
Вася нашёл дома весы и решил поэкспериментировать. Он выяснил, что один баклажан и один кабачок весят столько же, сколько три картофелины и одна морковка, а два баклажана столько же, сколько четыре морковки и один кабачок. Оказалось также, что пять морковок весят больше, чем кабачок и две картофелины, но меньше, чем два кабачка и одна картофелина. Сколько, по меньшей мере, ему надо взять баклажанов, чтобы перевесить картофелину, кабачок и две морковки?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОбозначьте массы всех овощей и переведите условие в систему равенств и неравенств; массу морковки удобно принять за единицу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ2 баклажана.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеСоставим систему, отвечающую условию задачи, обозначив массы баклажана, кабачка, картофелины и морковки как \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(m_4\): \[m_1 + m_2 = 3m_3 + m_4, \qquad 2m_1 = 4m_4 + m_2 ,\] \[m_2 + 2m_3 < 5m_4 < 2m_2 + m_3 .\] Получаем, что \(\dfrac{44}{15} < m_1 < \dfrac{37}{12}\), приняв массу морковки \(m_4 = 1\).
Теперь будем проверять, сколько баклажанов надо взять, чтобы \(n m_1 > m_2 + m_3 + 2m_4\). Если возьмём один, то получим \(m_1 < \dfrac{11}{6}\) — не подходит. Если возьмём два, то получим \(m_1 < \dfrac{11}{3}\) — подходит.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.