Поплавок

IEPhO 2012/13, 8 кл.

3/10

В данной работе вам необходимо изготовить прибор для измерения плотности жидкости (ареометра) и провести измерения зависимости плотности смеси жидкостей от ее концентрации.

Ареометр представляет собой цилиндрический сосуд (аптекарский пузырек) с солью внутри и тонкой трубкой, вертикально вставленной в его крышку.

Плотность воды считайте известной и равной

\[\rho_0=1.00~{г}/{см^3}. \tag{1}\]Диаметр трубки равен \(d = 5.0~мм\).

Часть A. Теоретическая

Экспериментально удобнее измерять длину части трубки, находящейся над поверхностью жидкости, \(h\).

A1. Запишите уравнение, связывающую объем пузырька \(V_0\), его массу \(m\), диаметр трубки \(d\), длину трубки \(l\), длину части трубки, находящейся над поверхностью жидкости \(h\) и плотность исследуемой жидкости \(\rho\).

A2. Можно доказать, что при изменении плотности раствора на малую величину \(\Delta\rho\) (то есть от \(\rho_0\) до \(\rho_0 + \Delta\rho\) ) объем погруженной части ареометра изменяется на величину \(\Delta V\), равную \[\Delta V=-V_1\frac{\Delta\rho}{\rho_0}, \qquad(1) \tag{2}\]где \(V_1\) – объем погруженной части ареометра в растворе плотности \(\rho_0\) (т.е. в чистой воде).

Используя формулу \((1)\), найдите изменение глубины погружения ареометра \(\Delta h\) при изменении плотности раствора на величину \(\Delta\rho\). Запишите эту формулу.

Часть B. Конструкторская

B1. Экспериментально подберите такое количество соли внутри пузырька, что бы в чистой воде глубина погружения ареометра была максимальна (но пузырек еще не утонул), а в жидкости \(\mathrm X\) минимальна (но поддающаяся измерению). Укажите пределы глубины погружения, которые вам удалось добиться.

B2. Измерьте плотность жидкости \(\mathrm X\). Укажите результаты всех измерений, которые Вам пришлось провести, чтобы определить плотность жидкости \(\mathrm X\).

Часть C. Исследовательская

Вам необходимо исследовать зависимость плотности раствора жидкости \(\mathrm X\) в воде. Используйте следующее определение концентрации раствора:

\[C_X=\frac{V_\mathrm X}{V_\mathrm X + V_{воды}}, \qquad(2) \tag{3}\]где \(V_\mathrm X\) – объем жидкости \(\mathrm X\), \(V_{воды}\) – объем чистой воды, налитые при приготовлении смеси. Согласно этому определению, концентрация чистой воды равна \(0\), а концентрация жидкости \(\mathrm X\) равна \(1\).

Для приготовления растворов известной концентрации рекомендуем использовать следующую методику. Удобно использовать порции жидкости постоянного объема \(40~мл\) (для этого используйте выданный вам шприц).

Залейте в мензурку 10 порций жидкости \(\mathrm X\), после этого отливайте одну порцию смеси, а добавляйте одну порцию чистой воды.
Проведите необходимые вам измерения.
Повторите эту процедуру 10 раз.

Расчет концентраций смеси после \(k\) переливаний можно проводить последовательно по формуле\[C_{Xk}=\frac{9}{10}C_{Xk-1} , \qquad(3) \tag{4}\]где \(C_{\mathrm Xk-1}\) – концентрация раствора после \((k-1)\) переливания, \(C_{\mathrm Xk}\) – концентрация после \(k\)-того переливания.

C1. Проведите измерения зависимости длины трубки над жидкостью \(h\) от концентрации смеси. Постройте график полученной зависимости.

C2. Постройте график зависимости изменения плотности раствора (разности между плотностью раствора и плотностью чистой воды \(\Delta\rho = \rho_{раствора} - \rho_{воды}\)) от его концентрации.

Оборудование

Пузырек аптекарский
Трубка для коктейля
Соль
Ложка чайная одноразовая
Мензурка
Стаканчики одноразовые
Шприц на \(20~мл\)
Штангенциркуль
Вода чистая
Жидкость \(\mathrm X\) (\(0.5~литра\))

Примечания:

Воду и жидкость \(\mathrm X\) наливать не более \(400~мл\).
При выполнении заданий части C перемешивайте раствор с помощью вашего ареометра.
Следите за положением вашей нитки (она не должна прилипать к стенкам мензурки).

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

B1: Глубина погружения изменяется примерно на \(11-13\) см.

Решение

A1. Сила тяжести, действующая на ареометр, уравновешивается силой Архимеда

Ответ:

\[mg=\rho g \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h)\right) \qquad(1) \tag{5}\]

A2. Обозначим \[V_1= \left( V_0 + \frac{\pi d^2}{4} (l - h_0)\right) \tag{6}\] – объем погруженной части ареометра в воде, который легко измерить с помощью мензурки. Так как масса ареометра не изменяется, то при изменении плотности жидкости выполняется соотношение \[\rho_0V_1=(\rho_0 + \Delta\rho)(V_1 +\Delta V) . \qquad(2) \tag{7}\] Раскроем скобки в правой части этого уравнения \[\rho_0V_1= \rho_0V_1 + \rho_0 \Delta V + \Delta\rho V_1 + \Delta\rho \Delta V \tag{8}\] Последним слагаемым можно пренебречь из-за его малости, \[\Delta V = -V_1 \frac{\Delta\rho} {\rho_0} \implies \Delta V = - \frac{\pi d^2} {4} \Delta h \tag{9}\]знак минус, т.к. ареометр всплывает.

Ответ:

\[\Delta h = - \frac{4V_1} {\pi d^2 \rho_0} \Delta \rho \qquad(3)\tag{10}\]

поэтому формула для расчета изменения плотности имеет вид

\[\Delta \rho = \rho_0 \frac{\pi d^2} {4V_1} \Delta h \tag{11}\]

B1. Ответ:

Глубина погружения изменяется примерно на \(11-13\) см.

B2. Для определения плотности жидкости \(\mathrm X\) можно использовать формулу \((3)\). Измерения параметров ареометра дают следующие значения\[d = (5.00 \pm 0.05) ~мм ,\quad V_1 =(25.00 \pm 1) ~см^3 ,\quad \Delta h =(12.50 \pm 0.25) ~см \tag{12}\]Плотность жидкости \(\mathrm X\):

Ответ:

\[\rho= \rho_0 \left ( 1 + \frac{\pi d^2}{4 V_1} \Delta h\right) = 1.00\frac{г}{см^3} \left (1 + \frac{3.14\cdot0.50^2} {4\cdot25}\cdot 12.5\right) = 1.098~ \frac{г}{см^3} \tag{13}\]\[\delta (\Delta\rho)= \Delta\rho \sqrt{\left ( 2 \frac{\delta d}{d}\right)^2 +\left (\frac{\delta V_1}{V_1}\right)^2 + \left ( \frac{\delta (\Delta h)}{\Delta h}\right)^2 } = ~0.004 \frac{г}{см^3} \tag{14}\]

C1. При добавлении воды концентрации пересчитываются по формуле

\[C_{Xk} = \frac{9c_{Xk-1}} {10} \qquad(4)\tag{15}\]Результаты измерений и расчетов изменения плотности смеси приведены в таблице.

Ответ:

\(C_\mathrm X\)	1.000	0.900	0.810	0.729	0.656	0.590	0.531	0.478	0.430	0.387	0.349
\(\Delta h,~ см\)	11.0	9.8	8.9	8.2	7.6	7.0	6.0	5.2	4.8	4.2	3.3
\(\Delta \rho\cdot10^3, ~{кг}/{см^3}\)	69.96	62.33	56.60	52.15	48.34	44.52	38.16	33.07	30.53	26.71	20.99

Ответ:

График зависимости изменения длины трубки над жидкостью \(\Delta h\) от концентрации смеси \(C_\mathrm X\)

C2. Ответ:

График зависимости изменения плотности раствора (разности между плотностью раствора и плотностью чистой воды \(\Delta \rho = \rho_ {раствора} - \rho_ {воды}\)) от его концентрации \(C_\mathrm X\)

Источник: pho.rs/p/3883.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Поплавок

Поплавок

Похожие задачи