Две стрелы Робин Гуда

Выразите дальность полёта стрелы через начальную скорость и угол вылета. Одинаковая сила натяжения означает одинаковую начальную скорость.

Сила натяжения лука в ответе не нужна: достаточно значения угла между стрелами. Пусть первая стрела вылетела со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к горизонту и упала под углом \(\alpha\). Время полёта \[t = \frac{2 v \sin\alpha}{g},\] дальность полёта \[s_1 = v \cos\alpha \cdot t = \frac{2 v^2}{g} \sin\alpha \cos\alpha .\] Для второй стрелы, вылетевшей под углом \(\beta\), аналогично \(s_2 = \dfrac{2v^2}{g} \sin\beta \cos\beta\) (начальные скорости равны по модулю, так как стрелы выпущены с одинаковой силой).

По условию дальности полёта равны, что даёт \[\sin\alpha \cos\alpha = \sin\beta \cos\beta \quad\Rightarrow\quad \sin 2\alpha = \sin 2\beta .\] Решение \(\alpha = \beta\) не интересует. Используя формулы приведения, \[\cos(2\alpha - 90^{\circ}) = \cos(90^{\circ} - 2\beta) \quad\Rightarrow\quad \alpha = 90^{\circ} - \beta .\] Разность углов \(\Delta = \beta - \alpha = 40^{\circ}\). Решая систему, получаем \(\alpha = 25^{\circ}\), \(\beta = 65^{\circ}\).