Два груза на стержнях, соединённые пружиной

Какие величины сохраняются при движении грузов без трения? В какой момент пружина получает наибольшую длину и что можно сказать о скоростях грузов в этот момент?

Относительная скорость грузов \(\vec V_{\text{отн}} = \vec V_1 - \vec V_2\) направлена вдоль стержней. Длина пружины максимальна (и минимальна) тогда, когда проекция относительной скорости на направление пружины обращается в нуль. Максимальная длина пружины соответствует случаю, когда пружина образует со стержнями угол, отличный от прямого; тогда \(\vec V_{\text{отн}} = 0\) и скорости грузов совпадают: \(\vec V_1 = \vec V_2 \equiv \vec V\).

Закон сохранения импульса (трения нет): \[m_1 V_0 - m_2 V_0 = (m_1 + m_2) V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{(m_1 - m_2) V_0}{m_1 + m_2}.\] Закон сохранения энергии: \[(m_1 + m_2) V_0^2 + k x_0^2 = (m_1 + m_2) V^2 + k x^2 .\] Подставляя \(V\), получаем \[k x^2 = k x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{m_1 + m_2},\] откуда \[x = \sqrt{x_0^2 + \frac{4 m_1 m_2 V_0^2}{(m_1 + m_2) k}} \approx 2{,}2~\text{см}.\]