Мотоцикл с телегой

Минимум времени достигается, когда телега сразу после отправки мотоцикла поворачивает обратно, а мотоцикл едет до города без остановок. Сравните пути мотоцикла и телеги за время обратного догона.

\(X=\dfrac{3}{5}\), то есть \(60\%\) пути.

Пусть \(S\) — расстояние от фермы до города, \(X\) — искомая доля этого расстояния. Минимальное время получается, когда телега сразу после отправки мотоцикла едет обратно, а мотоцикл проезжает весь путь \(S\) до города. Мотоцикл догоняет телегу на расстоянии \(XS\) от города, значит до фермы ему осталось проехать \(S(1-X)\). За время обратного пути мотоцикла телега проезжает в 5 раз меньше, то есть \(S/5\). Отсюда \[XS=S(1-X)+\frac{S}{5}\quad\Rightarrow\quad X=\frac{3}{5}.\] Если бы получилось \(X=2/5\) (40%), это соответствовало бы минимальному времени поездки, но не согласуется с условием: мотоцикл должен догонять телегу на обратном пути. Такой ответ оценивался в 9 баллов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.