Задачи › Магнитное поле токов

Катушка

  1. Катушка

    ВсОШ 2018/19, 11 кл.
    6/10

    В выданном вам черном ящике находится катушка с большим числом витков. Ось катушки совпадает с осью отверстия в черном ящике. В этой работе ваша задача — определить параметры катушки, исследуя ее взаимодействие с постоянным магнитом (магнитным шариком).

    Магнитные свойства постоянных магнитов характеризуются магнитным моментом \(p_m\). Магнитный момент шарика направлен вдоль оси латунной трубки, поэтому в рамках данной задачи сила, действующая на шарик со стороны катушки, направлена по оси катушки и определяется выражением \(F = p_m \dfrac{dB}{dx}\), где \(p_m = (0{,}10 \pm 0{,}01)\) А\(\cdot\)м\(^2\), \(B\) — индукция магнитного поля на оси катушки, \(x\) — расстояние между шариком и центром катушки.

    Подайте на катушку напряжение \(U = 12\) В с помощью блока питания. Убедитесь, что переключатель на блоке питания установлен в положение «12В». Если это не так, обратитесь к ответственным за аудиторию.

    Соберите установку так, чтобы магнитный шарик, прикрепленный к латунной трубке, мог перемещаться вдоль оси катушки. Запишите номер установки.

    1. Снимите зависимость силы \(F\), действующей на магнитный шарик со стороны катушки, от расстояния \(x\) между шариком и центром катушки. Учтите, что центр катушки может не совпадать с центром черного ящика. Постройте график этой зависимости.

    2. Определите индукцию магнитного поля \(B_0\) в центре катушки.

    3. Получите теоретическую формулу для индукции магнитного поля \(B\) на оси витка радиуса \(r\) на расстоянии \(x\) от центра витка, по которому течет ток \(I\).

    4. Определите радиус катушки \(R\) в предположении, что высота катушки много меньше диаметра, а все витки имеют один радиус (короткая катушка).

    5. Определите количество витков в катушке \(N\) и диаметр проволоки \(d\), по прежнему считая катушку короткой.

    Масса медной обмотки составляет 70% массы черного ящика. Плотность меди \(\rho = 8{,}96\) г/см\(^3\). Удельная проводимость (величина, обратная удельному сопротивлению) меди \(\lambda = 59 \cdot 10^6\) Ом\(^{-1}\cdot\)м\(^{-1}\).

    Оборудование. Весы электронные, катушка индуктивности в черном ящике, латунная трубка с неодимовым магнитным шариком, блок питания, штатив, деревянная линейка, плоская клипса, две клипсы для бумаги, деревянный кубик, прищепка.

    Примечание. Согласно закону Био–Савара–Лапласа, индукция магнитного поля, создаваемого в точке \(C\) элементом тока \(I\) длиной \(dl\), находящимся в точке \(D\), равна \(dB = \dfrac{k I\, dl \sin\alpha}{r^2}\), где \(r\) — длина отрезка \(CD\), \(\alpha\) — угол между отрезком \(CD\) и направлением тока, \(k = 10^{-7}\) Гн/м. Вектор индукции поля перпендикулярен как направлению тока, так и отрезку \(CD\) (рис. 15).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поле на оси витка возникает из-за элементов тока, каждый из которых дает вклад перпендикулярно своему радиус-вектору; сложите вклады всех элементов кольца. Для центра катушки сила равна нулю, а для поля вдали от катушки — нулю.

    Ответ

    1) график \(F(x)\) (см. решение);  2) \(B_0 \approx 5{,}95 \cdot 10^{-3}\) Тл;  3) \(B = \dfrac{2\pi k I r^2}{(r^2+x^2)^{3/2}}\);  4) \(R \approx 3{,}4\) см (по максимуму силы) или \(R \approx 3{,}3\) см (по производной силы в нуле);  5) \(N \approx 1{,}1 \cdot 10^3\), \(d \approx 0{,}35\) мм.

    Решение

    1. Установка: крепим зажимом типа «бульдог» латунную трубку вдоль линейки. Перемещая трубку относительно линейки, изменяем высоту шарика, а вес шарика на весах (через магнитное взаимодействие с катушкой) дает силу \(F\). При нахождении шарика в центре катушки сила равна нулю (индукция максимальна), что позволяет определить координату центра катушки и получить искомую зависимость простым сдвигом.

    Рисунок

    2. Так как сила зависит от градиента поля, \(F = p_m \dfrac{dB}{dx}\), то изменение поля пропорционально силе: \(\Delta B = \dfrac{F}{p_m}\Delta x\). Вдали от катушки поле равно нулю, поэтому поле в центре находим по площади под графиком силы: \[B_0 = \frac{1}{p_m}\int F\,dx = 5{,}95 \cdot 10^{-3}~\text{Тл}.\]

    3. Разобьем кольцо на элементы длины \(dl\). Каждый из них создает индукцию \(dB = \dfrac{k I\,dl}{r^2+x^2}\), направленную под углом \(\beta\) к оси витка, \(\cos\beta = \dfrac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}\). Проекция на ось \(dB_x = \dfrac{k I r\, dl}{(r^2+x^2)^{3/2}}\). Суммируя поля от всех элементов: \[B = \frac{2\pi k I r^2}{(r^2+x^2)^{3/2}}.\]

    4. Для короткой катушки, состоящей из витков радиуса \(R\), с суммарным током \(I = N I_1\), имеем \[\frac{dB}{dx} = -\frac{6\pi k I R^2 x}{(R^2+x^2)^{5/2}}, \qquad \frac{d^2B}{dx^2} = -\frac{6\pi k I R^2 (4x^2-R^2)}{(R^2+x^2)^{7/2}}.\] Максимум силы достигается при \(x = R/2\). По графику \(x_0 = 1{,}7\) см, откуда \(R = 3{,}4\) см. Второй способ: производная силы в нуле \(\kappa_0 = \dfrac{dF}{dx}\Big|_{x=0} = \dfrac{6\pi k I p_m}{R^3}\) по наклону графика \(\kappa_0 = 1{,}6\) Н/м; поле в центре \(B_0 = \dfrac{2\pi k I}{R}\). Тогда \[R = \sqrt{\frac{3\,p_m B_0}{\kappa_0}} = 3{,}3~\text{см}.\]

    5. Из выражения для \(B_0\): \(I = \dfrac{B_0 R}{2\pi k} = 320\) А. Напряжение на одном витке \(U_1 = U/N\). Из закона Ома \[\frac{U}{I} = \frac{2\pi R}{\lambda \pi d^2/4} = \frac{8R}{\lambda d^2} \quad\Rightarrow\quad d = \sqrt{\frac{8 I R}{\lambda U}} = 0{,}35~\text{мм}.\]

    Массу черного ящика взвешиваем; масса катушки \(M = 204\) г. Для определения количества витков используем \(\dfrac{M}{\rho} = \dfrac{\pi d^2}{4}\cdot N\cdot 2\pi R\), откуда \[N = \frac{\lambda U M}{4\pi^2 I R^2 \rho} = 1{,}1 \cdot 10^3.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх