Шарик, отскакивающий от движущейся стенки

Перейдите в систему отсчёта, связанную со стенкой: там стенка неподвижна, и упругий удар просто меняет знак проекции скорости шарика на нормаль к стенке.

Нарисуем рисунок, соответствующий условию задачи. Этот рисунок соответствует нашей работе в так называемой лабораторной инерциальной системе отсчёта (ЛИСО), связанной с землёй.

Шарик в момент броска находится в начале координат. Левая сторона стенки в момент броска шарика находится в точке, отстоящей от начала координат на расстоянии \(L_0\) (она не дана по условию задачи). Координаты шарика (в ЛИСО) изменяются со временем по закону: \[x(t) = v_0\cos\alpha\, t \quad (t \le \tau), \qquad y(t) = v_0\sin\alpha\, t - \frac{gt^2}{2} \quad (t \le t_{\text{падения}}).\] Координата левой стороны стенки: \(X(t) = L_0 + Vt\), где \(L_0 = X(t=0)\).

В момент соударения \(\tau\) шарика со стенкой \(X(\tau) = x(\tau)\), или \(v_0\cos\alpha\,\tau = L_0 + V\tau\). Отсюда получаем время соударения: \[\tau = \frac{L_0}{v_0\cos\alpha - V}. \qquad (1)\] Из положительности \(\tau\) получаем \(v_0\cos\alpha - V > 0\). Это физическое условие того, что брошенный шарик «догонит» удаляющуюся от него стенку. Расстояние \(L\) (вдоль горизонта) от точки бросания до точки столкновения со стенкой: \[L = X(\tau) = x(\tau) = \frac{L_0 v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - V}. \qquad (2)\] Запишем проекции скоростей шарика: \(v_x(t) = v_0\cos\alpha\) при \(t \le \tau\), \(v_y(t) = v_0\sin\alpha - gt\).

Перейдём в движущуюся инерциальную систему отсчёта (ДИСО), связанную со стенкой. В этой ДИСО скорость стенки равна нулю, а скорость шарика \(\vec v^{\,*} = \vec v - \vec V\). В проекции на ось \(x\): \(v_x^* = v_x - V\). Акт упругого соударения шарика с очень тяжёлой стенкой в ДИСО описывается очень просто: \[v_x^*(\tau+0) = -v_x^*(\tau-0).\] В левой части этого равенства записана проекция скорости шарика (в ДИСО) сразу после столкновения, в правой — непосредственно перед ним. Само время упругого столкновения шарика со стенкой равно нулю.

Путём простых преобразований найдём проекцию скорости шарика \(v_x(\tau+0)\) на ось \(x\) (в ЛИСО) после соударения: \[v_x^*(\tau-0) = v_0\cos\alpha - V, \qquad v_x^*(\tau+0) = V - v_0\cos\alpha,\] \[v_x(\tau+0) = v_x^*(\tau+0) + V = 2V - v_0\cos\alpha.\] Поскольку шарик после соударения летит в сторону, противоположную направлению оси \(x\) (чтобы вернуться в точку бросания — начало координат), потребуем, чтобы \(v_x(\tau+0) < 0\), т. е. \(2V < v_0\cos\alpha\). Далее работаем только в ЛИСО.

Пусть \(\tau_2\) — время полёта шарика от момента столкновения со стенкой до возвращения в точку бросания. Тогда \(x(t) = L + v_x(t)\,t\) при \(\tau < t < \tau + \tau_2\). В момент возвращения шарика в начало координат: \[0 = x(\tau+\tau_2) = L + v_x(\tau+0)\tau_2 = \frac{L_0 v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - V} + (2V - v_0\cos\alpha)\tau_2. \qquad (3)\] Ещё одно простое соотношение между неизвестными величинами задачи является следствием того, что шарик после упругого соударения со стенкой возвращается в точку бросания: \[\tau\, v_0\cos\alpha = (v_0\cos\alpha - 2V)\tau_2 = L. \qquad (4)\] Из последнего равенства следует: \[\tau_2 = \tau\,\frac{v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - 2V} = \frac{v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - 2V}\cdot\frac{L_0}{v_0\cos\alpha - V}. \qquad (5)\]