Магнитное взаимодействие

Для п. 1: сила между диполями пропорциональна \(\cos\theta/r^4\) с разным множителем для случаев а) и б). Для п. 3: график \(F^{-1/4}(r)\) линеен. Для п. 6: поле магнита на железном шаре пропорционально \(r^{-3}\).

1.1. Закрепим нижний магнит на подставке и положим на весы. Верхний магнит фиксируем в держателе при помощи резинки. Для исключения силы тяжести подставки с закреплённым магнитом показания весов при удалённом расположении магнитов зануляем с помощью клавиши «TARE». Тогда при сближении магнитов весы показывают только силу магнитного взаимодействия: знаку «+» соответствует отталкивание, а знаку «–» — притяжение магнитов. Важно, чтобы центр магнита находился на оси вращения держателя.

а) Магнитный момент нижнего магнита ориентируем по вертикали. Верхний шар закрепляем на штативе так, чтобы центры шаров находились на одной вертикали на таком расстоянии, чтобы максимальная сила взаимодействия магнитов соответствовала \(\approx 10\) г. Поворачивая верхний шар (нижний шар неподвижен), снимаем зависимость показаний весов \(F_\parallel\) от угла \(\theta\).

б) Расстояние между шарами не изменяем. Магнитный момент нижнего шара ориентируем горизонтально и параллельно плоскости вертикальной стойки штатива. Магнитный момент верхнего шара ориентируем параллельно магнитному моменту нижнего шара. Поворачивая верхний шар в вертикальной плоскости (нижний шар неподвижен), снимаем зависимость показаний весов \(F_\perp\) от угла \(\theta\).

Результаты измерений при расстоянии между шарами \(r = 96\) мм представлены в таблице:

1.2, 1.3. Графики зависимостей \(F_\parallel(\theta)\) и \(F_\perp(\theta)\) представлены на рисунке; \(\gamma(\theta) = F_\parallel(\theta)/F_\perp(\theta)\) строится по таблице.

2. Если второй диполь находится на оси первого (\(\vec r \parallel \vec P_m\)), то \[F = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{6P_m^2\cos\theta}{r^4}, \qquad F(0^\circ) = -F(180^\circ) = F^{\max}_\parallel = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{6P_m^2}{r^4}, \quad F(90^\circ) = F(270^\circ) = 0.\] Если дипольный момент неподвижного шара перпендикулярен прямой, соединяющей их центры (\(\vec r \perp \vec P_m\)), то \[F = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3P_m^2\cos\theta}{r^4}, \qquad F(0^\circ) = -F(180^\circ) = F^{\max}_\perp = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3P_m^2}{r^4}, \quad F(90^\circ) = F(270^\circ) = 0.\] Из графиков видно, что эксперимент согласуется с теорией при \(\theta = 90^\circ\), \(270^\circ\). Также из теории следует, что амплитуды колебаний силы в первом и втором случаях отличаются в два раза (при \(\theta = 90^\circ\), \(270^\circ\) обе силы равны нулю и отношение неопределённо): \[\gamma(\theta) = \frac{F^{\max}_\parallel}{F^{\max}_\perp} = 2 .\] В пределах погрешности это согласуется с экспериментом: \[\gamma(\theta) = \frac{F^{\max}_\parallel}{F^{\max}_\perp} = \frac{12{,}42~\text{г}}{6{,}24~\text{г}} = 2{,}02 .\]

3. Снимаем зависимость \(F(r)\). Поскольку \(F \propto r^{-4}\), график \(F^{-1/4}(r)\) — линейная функция. Угловой коэффициент зависимости \(k_\text{ш} = 3{,}10 \pm 0{,}15~\text{мН}^{-1/4}\,\text{м}\). С его помощью определим силу сцепления: \[F_\text{сц} = F(d) = (k_\text{ш} d)^{-4} = 69 \pm 15~\text{Н}.\]

4. Из формулы для максимальной силы находим \[P_m = \sqrt{\frac{F_\text{сц}(d/2)^4}{6\mu_0/4}} = 4{,}15~\text{Дж/Тл}.\]

5. Индукция магнитного поля на полюсе: \[B_\text{н} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2P_m}{R^3} = 0{,}83~\text{Тл}.\]

6. Измерения с железным шаром при расстоянии между шарами \(r_0 = 46\) мм:

Построим график \(F_\text{ш}(\theta)\) вместе с \(F_\parallel(\theta)\) и \(F_\perp(\theta)\). Поскольку диапазон величин \(F_\text{ш}\) заметно меньше, введём дополнительную ось справа. Отметим, что период полученной косинусоиды в два раза меньше периода графика \(F_\parallel(\theta)\).

Отношение \(k_\text{э} = F_{\max}/F_{\min} = 53{,}1/13{,}2 = 4{,}03\).

7. Из законов Кулона, а также электрическо-магнитной аналогии \[F_{\max} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{6P_m\,\alpha B_\parallel}{r^4}, \qquad F_{\min} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3P_m\,\alpha B_\perp}{r^4},\] где \(\alpha B_\parallel = \alpha(2P_m)/r^3\) — наведённый момент шара при \(\vec r \parallel \vec P_m\), \(\alpha B_\perp = \alpha(P_m)/r^3\) — при \(\vec r \perp \vec P_m\). Таким образом, теоретическая оценка \(k_\text{т} = F_{\max}/F_{\min} = 4\) хорошо согласуется с экспериментальным значением \(k_\text{э} = 4{,}03\).

8. Максимальная сила взаимодействия шара с магнитом на расстоянии между центрами шаров \(r_0 = 46\) мм: \[F_{\max} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{6P_mP_\text{ш}}{r_0^4} = 53{,}1~\text{мН}.\] Экспериментально находим, что примерно такая же сила притяжения возникает между магнитными шарами с магнитными моментами, направленными вдоль линии соединяющей центры шаров, на расстоянии \(r = 115\) мм: \(F_\parallel = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{6P_m^2}{r^4} = 53{,}5\) мН. Теперь можно оценить \(P_\text{ш}\): \[\frac{P_\text{ш}}{P_m} = \frac{F_{\max}}{F_\parallel}\,\frac{r_0^4}{r^4} \approx 0{,}024, \quad \text{откуда}\quad P_\text{ш} \approx 0{,}024\,P_m \approx 0{,}1~\text{Дж/Тл}.\]

9. Оценим \(\mu\) из формулы для наведённого магнитного момента: \[P_\text{ш} = \frac{4\pi}{\mu_0}\frac{\mu - 1}{\mu + 2}BR^3 = \frac{\mu - 1}{\mu + 2}\,2P_m\frac{R^3}{r_0^3} \approx 0{,}024\,P_m.\] В пределах погрешности получаем, что отношение \(\dfrac{\mu - 1}{\mu + 2} \approx 1\), откуда \(\mu \gg 1\).