Вспоминая 90-е

Центр масс трёх досок движется равномерно — найдите, где он относительно доски \(a\) в начале и в конце. Сила трения пропорциональна длине перекрытия досок \(a\) и \(c\), поэтому относительное движение — четверть периода гармонических колебаний с амплитудой \(L\).

Пусть \(v_0\) — скорость досок \(a\) и \(b\) до соударения с доской \(c\), а \(m\) — масса каждой из досок. Поскольку трения между досками \(a\) и \(b\) нет, а доски \(b\) и \(c\) при ударе скрепляются — сразу после удара скорость доски \(a\) равна \(v_0\), а скорость досок \(b\) и \(c\) равна \(v_0/2\) из закона сохранения импульса.

Введём ось \(x\) по направлению скорости \(v_0\). Поскольку горизонтальная поверхность гладкая — центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной \(v_\text{цм} = 2v_0/3\). В момент удара центр масс системы опережает центр доски \(a\) на величину \(l/3\), а к моменту, когда доска \(a\) целиком оказалась на доске \(c\), центр масс системы отстаёт от центра доски на ту же величину \(l/3\). Тогда для перемещения доски \(a\) получим: \[\Delta x = \Delta x_\text{цм} + \frac{2l}{3} = \frac{2(v_0\tau + l)}{3},\] где \(\tau\) — время движения доски \(a\) относительно досок \(b\) и \(c\). Далее объединим доски \(b\) и \(c\) в одно тело массой \(2m\) и будем характеризовать его индексом 2. Доску \(a\) будем характеризовать индексом 1. Пусть \(\vec F\) — сила трения, действующая на первое тело со стороны второго, а \(x\) — их относительное перемещение после удара. Отметим, что трение происходит только в области перекрытия досок \(a\) и \(c\). Величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции шероховатой части поверхности опоры, и поэтому \(F_x = -\mu mgx/l\). Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел: \[m\vec a_1 = \vec F, \qquad 2m\vec a_2 = -\vec F,\] откуда:

\[\vec a_1 - \vec a_2 = \vec a_\text{отн} = \frac{\vec F}{m} + \frac{\vec F}{2m} = \frac{2\vec F}{3m}.\] Тогда получим уравнение движения для переменной \(x\): \[\ddot x = -\frac{2\mu g x}{3L}.\] Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega_0 = \sqrt{2\mu g/3L}\). Его общее решение: \[x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0).\] Определим \(A\) и \(\varphi_0\) из начальных условий: \[\begin{cases} x(0) = A\sin\varphi_0 = 0\\[2pt] \dot x(0) = \dfrac{v_0}{2} = \omega A\cos\varphi_0 \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \varphi_0 = 0\\[2pt] A = \dfrac{v_0}{2\omega} \end{cases}\] Величина \(A\) имеет смысл амплитуды колебаний, которая также равна \(L\), поскольку относительное движение досок прекращается, когда доска \(a\) целиком оказывается на доске \(c\). Таким образом, имеем связь: \[\frac{v_0}{2\omega} = L.\] Время движения \(\tau\) является четвертью периода гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega_0\), откуда: \[\tau = \frac{\pi}{2\omega}.\] Тогда для перемещения центра масс имеем: \[\Delta x_\text{цм} = \frac{2v_0\tau}{3} = \frac{2\pi L}{3},\] и окончательно находим: \[\Delta x = \Delta x_\text{цм} + \frac{2L}{3} = \frac{2(\pi + 1)L}{3}.\]