Электрическая цепь

Тепло, выделившееся после размыкания ключа, равно энергии конденсатора в этот момент. Для времени используйте второе правило Кирхгофа, умноженное на малый интервал времени.

1) Тепло \(Q_2\), выделившееся в схеме после размыкания ключа, равно энергии конденсатора в момент размыкания: \(Q_2 = \dfrac{q_C^2}{2C}\), откуда \(q_C = \sqrt{2CQ_2} = 2{,}00\) мКл. Полное тепло равно работе источника: \(\mathcal{E}q_{\mathcal{E}} = Q_1 + Q_2\), откуда \(q_{\mathcal{E}} = \dfrac{Q_1 + Q_2}{\mathcal{E}} = 2{,}11\) мКл. Через резистор \(R\) протёк заряд \[q_R = q_{\mathcal{E}} - q_C = \frac{Q_1 + Q_2}{\mathcal{E}} - \sqrt{2CQ_2} = 0{,}11~\text{мКл}.\]

2) При замкнутом ключе в произвольный момент времени справедливо следующее из второго правила Кирхгофа равенство: \(\mathcal{E} = I_R R + I_r r\). Домножив его на малое время \(\Delta t\), получим связь протекших за это время зарядов: \[\mathcal{E}\,\Delta t = R\,\Delta q_R + r\,\Delta q_r.\] Просуммировав подобные равенства за всё время до размыкания ключа, получим \(\mathcal{E}t = Rq_R + rq_r\), откуда с учётом \(q_r = q_{\mathcal{E}}\) получаем \[t = \frac{Rq_R + rq_{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}} = \frac{R + r}{\mathcal{E}^2}(Q_1 + Q_2) - \frac{R}{\mathcal{E}}\sqrt{2CQ_2} = 30{,}4~\text{с}.\]