Мешок и трение

Если во время удара выполняется \(F = \mu N\), то импульс силы трения в \(\mu\) раз больше импульса силы реакции. Сравните два случая: мешочек после удара останавливается или скользит по поверхности.

Перед ударом о землю скорость мешочка равна \(v_0\) и направлена под углом \(\alpha\) к горизонту. Во время соударения на мешочек действуют вертикальная сила реакции опоры \(N\) и горизонтальная сила трения \(F\). Если в течение всего удара выполняется равенство \(F = \mu N\), то импульс, сообщённый мешочку силой трения, будет в \(\mu\) раз больше импульса, сообщённого силой \(N\): \[P_N = mv_y = mv_0\sin\alpha, \qquad P_F = \mu P_N = \mu m v_0\sin\alpha.\] Отсюда скорость мешочка по окончании удара: \[mu = mv_x - \mu m v_y, \qquad u = v_0(\cos\alpha - \mu\sin\alpha).\] При \(\mu > \mathrm{ctg}\,\alpha\) скорость \(u\), полученная в предположении \(F = \mu N\), отрицательна. Это означает, что горизонтальная скорость мешочка обратится в ноль ещё до окончания удара по вертикали, то есть мешочек сразу после удара будет неподвижен. Таким образом, возможны два случая.

1) При \(\mathrm{ctg}\,\alpha < \mu\) мешочек в результате удара останавливается, дальность полёта равна \(L_1 = \dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha\), откуда \(L_{1\,\max} = \dfrac{v_0^2}{g}\) при \(\alpha = 45^\circ\).

2) При \(\mathrm{ctg}\,\alpha > \mu\) мешочек после удара некоторое время скользит по поверхности, проходя дополнительное расстояние. Полная дальность \(L_2 = l_1 + l_2\), где \(l_1 = \dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha\) — дальность полёта, \(l_2 = \dfrac{u^2}{2a}\) — расстояние, пройденное мешочком по поверхности до остановки, \(a = \mu g\): \[L_2 = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha + \frac{v_0^2}{2\mu g}(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)^2 = \frac{v_0^2}{2\mu g}\bigl(\cos\alpha + \mu\sin\alpha\bigr)^2.\] Максимум выражения \(\cos\alpha + \mu\sin\alpha\) достигается при \(\mathrm{tg}\,\alpha = \mu\) и равен \(\sqrt{\mu^2 + 1}\), поэтому для максимальной дальности во втором случае \[L_{2\,\max} = \frac{v_0^2}{g}\,\frac{\mu^2 + 1}{2\mu}.\] Этот результат можно получить проще, если заметить, что при выполнении условия \(F = \mu N\) сумма сил трения и нормальной реакции всегда составляет с вертикалью угол \(\varphi\) такой, что \(\mathrm{tg}\,\varphi = \mu\). По этой причине проекция мешочка на ось, составляющую угол \(\varphi\) с горизонтом, движется равноускоренно с ускорением \(a = -g\sin\varphi\) во время полёта, удара и скольжения. Отсюда легко находится максимальная дальность: \[L\cos\varphi = \frac{\bigl(v_0\cos(\alpha - \varphi)\bigr)^2}{2g\sin\varphi}, \qquad L = \frac{\bigl(v_0\cos(\alpha - \varphi)\bigr)^2}{g\sin 2\varphi}, \qquad L_{2\,\max} = \frac{v_0^2}{g\sin 2\varphi} \text{ при } \alpha = \varphi.\] Максимальная дальность во втором случае не меньше, чем в первом. Это означает, что если условие \(\mathrm{tg}\,\alpha = \mu\) не противоречит условию \(\mathrm{ctg}\,\alpha > \mu\), то есть при \(\mu < 1\), максимальная дальность равна \(L_{2\,\max}\).

При \(\mu > 1\) дальность \(L_2\) монотонно растёт с увеличением угла \(\alpha\), поэтому её максимальное значение соответствует максимально возможному значению угла, которое определяется условием \(\mathrm{ctg}\,\alpha = \mu\). Тогда \[L_{2\,\max} = \frac{v_0^2}{g}\,\frac{2\mu}{1+\mu^2} \leqslant \frac{v_0^2}{g} = L_{1\,\max}.\] Поэтому при \(\mu > 1\) максимально возможной будет дальность \(L_1\).

Окончательно: \[L_{\max} = \begin{cases} \dfrac{v_0^2}{g}\,\dfrac{\mu^2 + 1}{2\mu}, & \text{при } \mathrm{tg}\,\alpha_{\max} = \mu, \text{ если } \mu \leqslant 1; \\[2ex] \dfrac{v_0^2}{g}, & \text{при } \alpha_{\max} = 45^\circ, \text{ если } \mu > 1. \end{cases}\]