Перемещение скамейки

Запишите правило моментов относительно передней опоры для равномерного движения. Определите, при каком условии скамейка начнёт опрокидываться: тогда сила реакции задней опоры обращается в ноль.

Найдём силу, необходимую для поддержания равномерного движения скамейки с заехавшей на шероховатую область передней опорой. Правило моментов относительно точки \(O\) в системе отсчёта, связанной со скамейкой, даёт \(\mu N_1 h + mg\dfrac{L}{2} = N_1 L\), здесь учтено, что \(F_1 = \mu N_1\). Откуда \[F_1 = \frac{\mu m g L}{2(L - \mu h)}.\] Когда на шероховатую область заехали обе опоры, необходимо прикладывать силу \(F_2 = \mu m g\). Когда движется только задняя опора, по аналогии с первым случаем \[F_3 = \frac{\mu m g L}{2(L + \mu h)}.\]

Полную работу можно представить в виде суммы работ на трёх участках: \[A = F_1 L + F_2 (S - L) + F_3 L = \mu m g\left(\frac{L^3}{L^2 - \mu^2 h^2} + S - L\right) = \mu m g\left(\frac{\mu^2 h^2 L}{L^2 - \mu^2 h^2} + S\right).\]

Важно учесть область допустимых значений. Условие \(L > \mu h\) не является достаточным: нужно, чтобы контакт с поверхностью сохранялся обеими опорами. Скамейка начнёт опрокидываться относительно передней ножки, когда сила \(N_2\) исчезнет, а \(N_1\) станет равна \(mg\). Из правила моментов относительно точки \(A\): \(\mu h N_1 = \dfrac{L}{2} N_1\), то есть сохранение контакта возможно лишь при \(L > 2\mu h\).