Камни в колёсах

Угол между радиус-векторами камней относительно центров колёс остаётся постоянным. Вектор между камнями равен сумме постоянного вектора между центрами колёс и вектора, длина которого не меняется.

Колёса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, поэтому они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями \(\omega = v/R\). Угол между радиус-векторами камней \(\vec r_1\) и \(\vec r_2\) относительно центров колёс в любой момент времени равен \(90^\circ\) (рис. 15).

Радиус-вектор второго камня относительно первого: \(\vec r_{21} = \vec r_0 + \vec r_2 - \vec r_1\), где \(\vec r_0\) — радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) имеет длину \(\sqrt{2}\,R\) и вращается с угловой скоростью \(\omega\), а вектор \(\vec r_0\) постоянен. Концы векторов \(\vec r_2 - \vec r_1\) и \(\vec r_{21}\) лежат на окружности радиуса \(\sqrt{2}\,R\) с центром в конце вектора \(\vec r_0\) (рис. 16).

Длина \(\vec r_{21}\) минимальна, когда \(\vec r_2 - \vec r_1\) направлен противоположно \(\vec r_0\), и максимальна, когда он направлен так же, как \(\vec r_0\) (рис. 17): \[r_{21}^{\min} = 3R - \sqrt{2}\,R = R\,(3 - \sqrt{2}), \qquad r_{21}^{\max} = 3R + \sqrt{2}\,R = R\,(3 + \sqrt{2}).\]

Длина \(\vec r_{21}\) максимальна, когда вектор \(\vec r_2\) повернётся на угол \(\pi/4\) относительно начального положения. Отсюда момент времени \(t = \dfrac{\pi}{4\omega} = \dfrac{\pi R}{4v}\).