Задачи › Количество теплоты, уравнение теплового баланса

Кофе с молоком

  1. Кофе с молоком

    ВсОШ 2015/16, 9 кл.
    6/10

    Теплообменник состоит из двух тонких коаксиальных труб и имеет длину \(L = 5\) м. По внутренней трубе течёт кофе, а по внешней во встречном направлении — молоко (рис. 4). Молоко поступает в теплообменник при температуре \(t_1 = 10\,^\circ\)C, а кофе — с противоположной стороны при температуре \(t_2 = 90\,^\circ\)C. Если в единицу времени по трубам теплообменника в каждую сторону протекает одинаковая масса жидкостей \(\mu\), то к выходу из него молоко успевает нагреться до температуры \(t_3 = 60\,^\circ\)C.

    Рисунок

    1. Определите температуру \(t_4\) кофе на выходе из теплообменника.

    2. На каком расстоянии \(s\) друг от друга находятся участки труб, в которых температуры кофе и молока одинаковы?

    3. Какими станут температуры молока \(t'_3\) и кофе \(t'_4\), вытекающих из теплообменника, если увеличить скорость обоих потоков в два раза, сохранив их температуры на входе?

    Указание. Мощность теплопередачи через небольшую площадку внутренней трубы пропорциональна разности температур контактирующих с ней жидкостей. Теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Плотности и удельные теплоёмкости кофе и молока считать одинаковыми.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для малого участка трубы запишите тепловой баланс: изменения температур кофе и молока равны, поэтому их разность постоянна вдоль трубы. Тогда температуры меняются линейно по длине.

    Ответ

    1) \(t_4 = 40\,^\circ\)C;  2) \(s = 3\) м;  3) \(t'_3 = 46{,}4\,^\circ\)C, \(t'_4 = 53{,}6\,^\circ\)C.

    Решение

    В установившемся режиме температура вдоль трубы меняется линейно. Из уравнения теплового баланса следует, что изменения температур жидкостей одинаковы, поскольку за одинаковое время обмениваются теплом одинаковые массы жидкостей. Если в некотором месте температуры кофе и молока равны \(t_к\) и \(t_м\), то на небольшом расстоянии \(\Delta x\) они станут равны \(t_к + \Delta t\) и \(t_м + \Delta t\), при этом разность температур и мощность теплообмена сохранятся. Распределение температур вдоль труб показано на рис. 21.

    Рисунок

    Изменения температур равны: \(\Delta t_1 = t_3 - t_1 = 50\,^\circ\)C. Температура кофе на выходе \(t_4 = t_2 - \Delta t_1 = 40\,^\circ\)C.

    Расстояние \(s\) между участками труб с одинаковыми температурами найдём из подобия треугольников: \(\dfrac{s}{L} = \dfrac{t_2 - \Delta t_1 - t_1}{\Delta t_1}\), откуда \(s = 3\) м.

    Свяжем мощности переданного и полученного тепла: \(\mu c\,\Delta t_1 = \alpha(t_2 - \Delta t_1 - t_1)\), где \(\alpha\) — константа, связанная с теплопроводящими свойствами внутренней трубы и жидкостей. После увеличения расхода жидкостей до \(\mu' = 2\mu\) уравнение связи примет вид \(2\mu c\,\Delta t'_1 = \alpha(t_2 - \Delta t'_1 - t_1)\). Решая систему, получим \(\Delta t'_1 = 36{,}4\,^\circ\)C. Откуда \(t'_3 = 46{,}4\,^\circ\)C и \(t'_4 = 53{,}6\,^\circ\)C.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх