Два шарика

В системе отсчёта, где нижний шарик покоится, верхний движется по окружности радиуса \(l\). Закон сохранения энергии и горизонтальной компоненты импульса даёт скорости шариков в критический момент.

В критическом случае (при минимально возможной \(v_0\)) отрыв нижнего шарика произойдёт в момент, когда нить вертикальна и её натяжение равно \(mg\) (рис. 21). Скорость верхнего шарика \(v\) в этот момент горизонтальна, и из сохранения горизонтальной проекции импульса системы получаем, что скорость нижнего шарика равна по величине и противоположна по направлению скорости верхнего. Запишем закон сохранения энергии: \[\frac{mv_0^2}{2} = 2\,\frac{mv^2}{2} + mgl,\] откуда \(v^2 = \dfrac{v_0^2}{2} - gl\).

В системе отсчёта (неинерциальной), в которой нижний шарик всё время неподвижен, верхний шарик движется по окружности радиуса \(l\), и его скорость в рассматриваемый момент равна \(2v\), поэтому ускорение верхнего шарика направлено вниз и равно \[a = \frac{(2v)^2}{l}.\] Ускорение нижнего шарика в момент отрыва равно нулю, поэтому ускорение верхнего шарика относительно инерциальной системы отсчёта тоже равно \(a = 4v^2/l\). Второй закон Ньютона для верхнего шарика: \[m\frac{4v^2}{l} = mg + T.\] Поскольку \(T = mg\), то \(2v^2 = gl\), откуда, с учётом выражения для \(v\), получим \(v_0^2 = 3gl\).

Таким образом, нижний шарик оторвётся от плоскости при \(v_0 > \sqrt{3gl}\).

Радиус кривизны траектории верхнего шарика в лабораторной системе: скорость верхнего шарика в этот момент равна \(v\), ускорение \(a = 4v^2/l\) направлено к нижнему шарику, поэтому \(R = \dfrac{v^2}{a} = \dfrac{l}{4}\).