Кривизна траектории Луны

Question

В астрономии за единицу длины принято среднее расстояние $R$ от Земли до Солнца, называемое астрономической единицей (1 а. е). В геоцентрической системе отсчёта, связанной с Землёй, Луна вращается по круговой орбите радиуса $r_{\text{л}} = 2{,}57 \cdot 10^{-3}$ а. е. В гелиоцентрической системе траектория нашего естественного спутника выглядит гораздо более сложно, поскольку Луна вращается вокруг Земли, которая в свою очередь вращается вокруг Солнца (вращение происходит в одну сторону). Вычислите радиусы кривизны $r_{\text{п}}$ и $r_{\text{н}}$ траектории Луны в гелиоцентрической системе отсчёта во время полнолуния и новолуния. Ответ выразите в астрономических единицах. Отметьте качественно положение соответствующих центров кривизны ($O_{\text{п}}$ и $O_{\text{н}}$) на данном рисунке, на котором изображены Солнце и Земля. Отношение массы Земли к массе Солнца $m_{\text{з}}/m_{\text{с}} = 3 \cdot 10^{-6}$.

Accepted Answer

$r_{\text{п}} \approx 0{,}73$ а. е., $r_{\text{н}} \approx 1{,}7$ а. е.; см. рисунок. (mathus) $r_{\text{п}} = R\dfrac{\left(1 + \sqrt{\alpha/\beta}\right)^2}{\dfrac{1}{(1 + \beta)^2} + \dfrac{\alpha}{\beta^2}} \approx 0{,}74$ а. е.; $r_{\text{н}} = R\dfrac{\left(1 - \sqrt{\alpha/\beta}\right)^2}{\dfrac{1}{(1 - \beta)^2} - \dfrac{\alpha}{\beta^2}} \approx 1{,}69$ а. е., где $\alpha = m_{\text{з}}/m_{\text{с}}$, $\beta = r_{\text{л}}/R$.

Кривизна траектории Луны

Похожие задачи