Лёд, приклеенный ко дну

Сначала проверьте, растаял ли весь лёд: сравните понижение уровня, которое получилось бы при полном таянии, с данным в условии. Если лёд остался, то температура в сосуде равна \(0\,^\circ\)C.

Сначала выясним, растаял ли весь лёд. Пусть масса горячей воды равна массе льда \(m\). Для объёма содержимого сосуда \[SH = \frac{m}{\rho_0} + \frac{m}{\rho_1},\] где \(S\) — площадь дна сосуда. Если растает весь лёд, в сосуде останется только вода массой \(2m\), и её уровень станет \(H - \Delta H\): \[S(H - \Delta H) = \frac{2m}{\rho_0}.\] Вычитая, получаем \(S\,\Delta H = m\left(\dfrac{1}{\rho_1} - \dfrac{1}{\rho_0}\right)\), откуда \[\Delta H = \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_0 + \rho_1}\,H = \frac{H}{19} \approx 1{,}05~\text{см}.\] Уровень понизился на \(\Delta h = 0{,}5\) см, меньше \(1{,}05\) см. Значит, весь лёд не растаял: в сосуде есть лёд и вода при температуре \(t_0 = 0\,^\circ\)C.

Уравнение теплового баланса для горячей воды, охлаждающейся до \(0\,^\circ\)C, и растаявшей массы льда \(\Delta m\): \[c\,m\,t = \lambda\,\Delta m.\] Понижение уровня связано с растаявшим льдом: \[S\,\Delta h = \Delta m\left(\frac{1}{\rho_1} - \frac{1}{\rho_0}\right) \quad\Rightarrow\quad \Delta m = \frac{S\,\Delta h\,\rho_0\rho_1}{\rho_0 - \rho_1}.\] Масса горячей воды \(m = \dfrac{SH\rho_0\rho_1}{\rho_0 + \rho_1}\). В результате \[t = \frac{\lambda}{c}\,\frac{\Delta h}{H}\,\frac{\rho_0 + \rho_1}{\rho_0 - \rho_1}.\]