Лиса и суслик

Рассмотрите области, из которых лиса успевает добежать до суслика в каждой точке его пути. Каждая такая область — круг. Как связан радиус круга с расстоянием от точки до норки А?

Будем строить область, из которой лиса может догнать суслика, обратным образом. Пусть суслик бежит из норки А в норку В, а из каждой точки его траектории во все стороны бегут лисы. Если лисы бегут в течение того времени, которое суслик бежал до рассматриваемой точки из норки А, то их расположение определит границы области, из которой лиса сможет поймать суслика в этой точке. Объединение таких областей по всем точкам траектории и даст всю область.

Все такие области — окружности, радиус которых в 3 раза меньше расстояния от соответствующей точки траектории до точки А. Касательные ко всем этим окружностям образуют один и тот же угол с отрезком АВ: прямоугольные треугольники, образованные радиусами в точки касания, подобны, так как у всех у них катет в 3 раза меньше гипотенузы, т.е. \(\sin\angle BAP = \sin\angle BAQ = \dfrac{1}{3}\).

Область ограничена отрезками \(AP\) и \(AQ\) касательных и сектором окружности \(PBQZ\) радиуса \(d/3\) с центром в точке В. Площадь области — сумма площадей треугольников \(ABP\) и \(ABQ\) и сектора \(PBQZ\). Треугольники прямоугольные с гипотенузой \(d\) и катетом \(d/3\), поэтому второй катет равен \(\dfrac{2\sqrt{2}\,d}{3}\), а площадь каждого \[S_{ABP} = S_{ABQ} = \frac{\sqrt{2}\,d^2}{9}.\] Площадь сектора, по официальному решению, \[S_{PBQZ} = \left(\pi - \arcsin\frac{1}{3}\right)\frac{d^2}{9}.\] Итоговая площадь области \[S = 2S_{ABP} + S_{PBQZ} = \frac{2\sqrt{2}\,d^2}{9} + \left(\pi - \arcsin\frac{1}{3}\right)\frac{d^2}{9}.\]