Отскок крупы

Если крупинка скользит по столу без отскока, то дальность скольжения связана с высотой отпускания через работу силы трения. Почему результат без учёта отскоков не совпадает с коэффициентом трения, найденным по наклону стола?

Для фиксации начальной высоты крупу удобно сыпать из бумажного кулька. Перед касанием стола скорость крупинки \(v_0 = \sqrt{2gh}\). При скольжении без отскока на расстоянии \(l\) работа силы трения равна изменению кинетической энергии, \(\mu m g\,l = \dfrac{m v_0^2}{2}\), откуда \[\mu = \frac{h}{l}.\] Такая формула даёт коэффициент трения, близкий к единице. Измерения средней дальности \(\langle l\rangle\) при высотах \(h = 5, 10, 15, 20, 25, 30\) см дают \(\langle l\rangle = 4{,}5;\ 10{,}0;\ 13{,}4;\ 21;\ 29{,}5;\ 32{,}4\) см, что не согласуется с коэффициентом трения \(\mu \approx 0{,}3\), найденным по наклону стола. Значит, необходимо учитывать отскоки: каждый отскок с коэффициентом \(k\) уменьшает нормальную составляющую скорости в \(k\) раз, и дальность складывается из геометрически убывающих вкладов. Пренебрегая степенями \(k\) выше третьей, из суммы получается приближённая формула для \(\langle l\rangle(h)\), по которой определяются \(\mu\) и \(k\) (см. официальное решение).