Газ под поршнем с нагревателем
6/10Идеальный одноатомный газ в количестве \(\nu\) молей находится в сосуде под поршнем. К сосуду подключён нагреватель, который выделяет в него постоянную во времени мощность тепла \(W\), потерь тепла из сосуда нет. В начальный момент температура газа \(T_0\), объём \(V_0\). В ходе некоторого процесса температура \(T\) и объём \(V\) газа как-то менялись, при этом величина \(f=\ln(T/T_0)\) равномерно увеличивалась во времени со скоростью \(\alpha\). Определите, как менялась во времени величина \(g=\ln(V/V_0)\). Все процессы считайте квазистатическими.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаИз условия сразу находится закон \(T(t)\). Далее запишите первое начало термодинамики через \(dT/dt\) и \(dV/dt\) и разделите его на \(T\).
Ответ\(g(t)=\dfrac{W}{\nu RT_0\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha t}\bigr)-\dfrac{3}{2}\alpha t\).
РешениеИз условия \(\dfrac{d}{dt}\ln\dfrac{T}{T_0}=\alpha\) получаем \(\dfrac{1}{T}\dfrac{dT}{dt}=\alpha\) и \(T=T_0e^{\alpha t}\).
Первое начало \(\delta Q=dU+p\,dV\) с \(\delta Q=W\,dt\), \(dU=C_V\,dT\), \(C_V=\dfrac{3}{2}\nu R\) и \(p=\dfrac{\nu RT}{V}\) даёт \[W\,dt=C_V\,dT+\nu RT\frac{dV}{V}.\] Разделим на \(T\,dt\): \(\dfrac{W}{T}=C_V\alpha+\nu R\dfrac{dg}{dt}\), поэтому \[\frac{dg}{dt}=\frac{We^{-\alpha t}}{\nu RT_0}-\frac{3\alpha}{2}.\] Интегрируя с учётом \(g(0)=0\), получаем ответ выше.
Похожие задачи
- Гелий в цилиндре с перегородкой и поршнем Физтех 2014/15, 11 кл.
- Теплообмен гелия через перегородку, поршень Физтех 2014/15, 10 кл.
- Гелий в процессе расширения «Покори Воробьёвы горы!» 2014/15, 10–11 кл.
- Пробка вылетает из колбы с гелием МОШ 2015/16, 10 кл.
- Газ: изохора и изотерма «Шаг в будущее» 2015/16, 11 кл.
- Робот на поршне в цилиндре с гелием «Шаг в будущее» 2016/17, 8 кл.