Бусинки на жгутике

В равновесии кулоновская энергия бусинок вдвое больше энергии жгутика. Дальше — законы сохранения импульса и энергии для конечного состояния.

Пусть жёсткость жгутика \(K\), расстояние между бусинками в равновесии \(x\), заряды \(q_1\) и \(q_2\). Условие равновесия \(\dfrac{kq_1q_2}{x^2}=Kx\); умножим его на \(x\): \(\dfrac{kq_1q_2}{x}=Kx^2\). Слева стоит кулоновская энергия, справа — удвоенная энергия жгутика, то есть в равновесии \(E_{кул}=2E_{жг}\).

После перерезания жгутика кулоновская энергия переходит в кинетическую энергию бусинок, а энергия жгутика — в теплоту: \(Q=E_{жг}\). Значит, бусинки в конце разлетаются с суммарной кинетической энергией \(2Q\).

Импульсы бусинок в конце равны по модулю и противоположны, так как суммарный импульс системы был нулевым: \(p=m_1V_1=m_2V_2\). Тогда \[2Q=\frac{p^2}{2m_1}+\frac{p^2}{2m_2} \quad\Rightarrow\quad p=\sqrt{\frac{4Qm_1m_2}{m_1+m_2}},\] откуда \(V_1=p/m_1\) и \(V_2=p/m_2\) — ответ выше.